Mathematik ist eine Sprache, deren Niederschrift insbesondere mit stenographischen Zeichen geschieht. Das Erlernen der Sprache der Mathematik erfordert zunächst das Wissen um die Interpretation der stenographischen Zeichen in einem ausführlichen und verständlichen Text. Beispiel:
\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k^2} \)=\( \frac{1}{6} \)·n·(n+1)·(2n+1)
bedeutet: Die Summe der ersten n Quadratzahlen berechnet sich als ein Sechstel des Produktes aus n, seinem Nachfolger und dem und dem ungeraden Nachfolger der n-ten ungeraden Zahl.
In diesem Langtext kommen die Begriffe Quadratzahl, Produkt, Nachfolger vor, die verstanden werden müssen. Verstanden in dem Sinne, dass möglichst viele wesentliche Merkmale der hinter diesen Begriffen stehenden Objekte verfügbar sind. Begriffe können im Mathematikunterricht meistens nicht in überschaubarer Unterrichtszeit eingeführt werden. Nicht wenige mathematische Begriffe werden über Schuljahre hinweg immer weiter vervollständigt. Um einen Begriff in einen weitergehenden Gedanken einbauen zu können und auf diese Weise Erkenntnisse zu gewinnen, muss der Begriff im Denken der/des Lernenden zu einem Superzeichen verdichtet angelegt werden. Dabei helfen insbesondere die stenographischen Zeichen. Jedes Denken braucht Zeichen, in denen sich Gedachtes verdichtet. Es gibt kein Denken ohne Zeichen. Ein Gleichheitszeichen zwischen zwei Termen kann nur angemessen in weitergehende Gedanken eingebaut werden, wenn sich mit seiner Wahrnehmung möglichst viele Regeln der Termumformung und der Gleichungslehre im Denken des/der Lernenden einstellen. Die Sprache der Mathematik kann man nur dann sprechen und verstehen, wenn ihre Zeichen mit Begriffen unterlegt werden können. Dabei ist jeder Begriff im Grunde die Gesamtheit aller wesentlichen Merkmale in einer gedanklichen Einheit, also ein geistiger, abstrakter Gehalt von etwas, das Objekt des Denkens genannt werden soll.
Mathematik ist auch eine Auswahl aus folgender Liste von Tätigkeiten:
- Erkennen und beschreiben von Strukturen,
- Erkennen und Beschreiben von Mustern,
- Formulieren und Erhärten von Hypothesen,
- Darstellen und Wechseln zwischen Darstellungen (Repräsentationswechsel)
- Zurückführen von neuem auf Bekanntes,
- Entwickeln (abstrahieren) von Begriffen (auch von Zeichen für diese),
- Einbau der Begriffe (Zeichen) in weiterführende Gedanken und Begriffsentwicklungen.
Erkennen kann man in sehr vielen Fällen nur das, was man kennt. Ausnahmen sind hier insbesondere das Muster des Kommutativgesetzes und das geometrische Muster der Achsensymmetrie. Auch wenn das Erkannte in diesen Fällen nicht mit einer Zeichenkette (KOMMUTATIV bzw. SYMMETRISCH) benannt werden kann, ist das Erkennen solcher Muster ‚in die Wiege gelegt‘, also dem Denken des Menschen sehr naheliegend. Dagegen ist das Muster der Zahlenfolge 1, 8, 27, 64, 125, … vermutlich nur erkennbar, wenn man die ersten Kubikzahlen kennt. Die Beschreibung des erkannten Musters in der Sprache der Mathematik ist erst dann möglich, wenn man die Sprache bezüglich des jeweiligen Sachverhaltes beherrscht. Ein Kind, das beim Erlernen des Kleinen Einmaleins erkennt, dass sowohl 6ˑ4=4ˑ6 als auch 7ˑ8=8ˑ7 und 5ˑ9=9ˑ5 ist, wird dies mit den Worten zum Ausdruck bringen: ‚Man darf im Kleinen Einmaleins die Zahlen vertauschen - es kommt das Gleiche heraus.‘ Eine Mustererkennung liegt auch dann vor, wenn die Fachsprache noch nicht vollständig beherrscht wird. Ein oft naheliegender Repräsentationswechsel ist der Wechsel zwischen Funktionsterm, Graph und Wertetabelle. Ein guter Mathematikunterricht gibt viele Gelegenheiten zu oben genannten Tätigkeiten.
In der Mathematik geht es primär um die Möglichkeit abstrakter Objekte unseres Denkens. Als Pythagoras selbst oder einer seiner Schüler entdeckte, dass bei einem Quadrat das Verhältnis von Seitenlänge und Diagonalenlänge nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann und diese beiden Strecken kein gemeinsames Maß haben, musste die Möglichkeit weiterer Zahlen als der bereits bekannten in das Denken einbezogen werden. Als Bombelli die Möglichkeit weiterer Zahlen über die bekannten reellen Zahlen hinaus erkannte, musste er diese Möglichkeit zum Gegenstand weiteren Denkens machen. Das sowohl die irrationalen als auch die komplexen Zahlen geeignet sind, unsere Welt zu erklären und zu beschreiben hat im ersten Zugriff auf diese Abstrakta unseres Denkens keine Rolle gespielt. Aber warum sind Ergebnisse mathematischen Denkens selbst dann noch zur Beschreibung und Erklärung der uns umgebenden Welt geeignet, wenn sie ihren Ursprung nicht im Bestreben der Welterklärung haben, sondern in der Möglichkeit gedacht zu werden? Der Mensch kann nicht alle Wahrheiten kennen aber er kann - kraft seines Denkens - immer mehr Wahrheiten erkennen. Natürlich ist nicht alles wahr, was denkbar ist. Über welche Mittel verfügt der Mensch, um die Wahrheit einer Aussage zu bestätigen und in einem Pool der wahren Aussagen abzulegen? Die Mittel sind
- genaue Kenntnis des bereits vorhandenen Poolinhalts,
- Prüfung und Weiterentwicklung durch Konstruktionen auf dieser Basis,
- Äquivalente Umformung der Aussage bzw. Repräsentationswechsel,
- Prüfung und Weiterentwicklung mittels logischer Verknüpfungen wahrer Aussagen,
- Konsens bezüglich bestimmter Grundvoraussetzungen (Axiome),
- Prüfung auf Widerspruchsfreiheit innerhalb des Pools.
