Partiellen Ableitungen sind nicht stetig?

Question

Aufgabe:

Hallo

Es geht um die Stetigkeit der partiellen Ableitung bzw. die Differenzierbarkeit von f. Mithilfe des EPSILON-DELTA Kriteriums wird gezeigt, dass ein EPSILON existiert, was jedoch mit den Lösungen (Siehe Bild + Aufgabe) nicht übereinstimmt. Es bereitet ein wenig Kopfzerbrechen, da ich nicht weiss wo der Fehler liegt
Problem/Ansatz:

l

LLG

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \left|f_{x}(x, y)-(0,0)\right|<\varepsilon \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \\ \Rightarrow\left|\frac{y x^{4}-y^{5}+4 x^{2} y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right| \leq \frac{|y||x|^{2}+\left.\left|y y^{5}+4\right| x\right|^{2}|y|^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\ \leq \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}+4 \cdot\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}-y^{2}}\right.}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \\ |x|<\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ =\frac{{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{5}+{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{5}+4{\sqrt{x 7+y^{2}}}^{5}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{6{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{5}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=6 \sqrt{x^{2}+y^{2}}<6 \delta=\varepsilon \\ \text { Wäble } \delta=\frac{\varepsilon}{6} \\ \end{array} \)
miro

Answer 1

Es geht um die Stetigkeit der partiellen Ableitung bzw. die Differenzierbarkeit von f.

Im Allgemeinen ist es oft vorteilhaft, zu wissen, um welche Funktion es sich handelt. Damit ist nicht gemeint, den Namen der Funktion zu kennen, sondern den Zusammenhang zwischen Elementen der Definitionsmenge und Elementen der Wertemenge.

Mithilfe des EPSILON-DELTA Kriteriums wird gezeigt, dass ein EPSILON existiert

Von wem? Von dir oder vom Autor der Musterlösungen? Meiner Meinung nach von keinem.

was jedoch mit den Lösungen (Siehe Bild + Aufgabe) nicht übereinstimmt.

Ich bin bis jetzt nicht auf eine gültige Aussage gestoßen, zu der es nut einen einzigen Beweis gibt.

Comments

Ich frage mich auch nach dem letzten Satz der gedruckten Lösung. Müsste die Folgerung nicht sein: f ist nicht zweimal differenzierbar?

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Ja der Satz hat leider am meisten verwirrt...