Differentiation Satz von Schwarz: Sind alle partiellen Ableitungen der Ordnung zwei stetig?

Question

Hi,

kurze Frage zu einer Aufgabe:

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f : R²→R durch
f(x; y) = xy* (x²-y²/x²+y²)  für (x,y)≠ (0,0)

0     für (x,y) = (0,0)

limx→0 für fxy(x,0) und limy→0fyx(0,y)

a) Sind alle partiellen Ableitungen der Ordnung zwei stetig?

b)Hätte es ausgereicht nur eine der gemischten partiellen Ableitungen zu berechnen und fxy=fyx
folgern? Begrunden Sie Ihre Aussagen.

Meine Lösung:

habe dort herausgebekommen, dass die beiden parteillen ableitungen zweiter ordnung gleich fxy= fyx ist mit fxy= (x⁶+9x⁴y²-9x²y⁴-y⁶/x⁶+3x⁴y²+3x²y⁴+y⁶)

a)

für lim->0: läuft gegen 1 und für lim y->o läufts gegen -1 = also nicht stetig.

b)

hier bin ich mir ziemlich unsicher, vielleicht weil hier der Satz von schwarz greift und die HEsseform dadurch symmetrisch ist?

Comments

Was sagt mir denn mein ergebnis, dass ich einmal 1 und einmal -1 als grenzwert heraus habe? Dass die partiellen ableitung nicht stetig sind? müssten sie aber doch eig sein

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Habs schon, steht auf Wikipedia.. sorry

Answer 1

x^6+9x^4*y² - 9x²* y^4  = (x+y) (x - y) (x^4+10x²*y²+y^4