Aloha :)
Es gibt ja nur 2 partielle Ableitungen 1-ter Ordnung, nach \(x\) und nach \(y\) abgeleitet. Wenn du partiell nach \(x\) ableitest, behandelst du \(y\) wie eine konstante Zahl. Wenn du partiell nach \(y\) ableitest, behandelst du \(x\) wie eine konstante Zahl. Für die Ableitung des Logarithmus benötigen wir die Kettenregel.
$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\ln(x^3+y^2)\right)=\underbrace{\frac{1}{x^3+y^2}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{3x^2}_{\text{innere}}=\frac{3x^2}{x^3+y^2}$$$$\frac{\partial}{\partial y}\left(\ln(x^3+y^2)\right)=\underbrace{\frac{1}{x^3+y^2}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{2y}_{\text{innere}}=\frac{2y}{x^3+y^2}$$
