lineare Abhängigkeit mittels Gauß-Verfahren und Linearkombination

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren:

a \( \begin{pmatrix} 3\\-3\\-3 \end{pmatrix} \)

b \( \begin{pmatrix} -1\\4\\-3 \end{pmatrix} \)

c \( \begin{pmatrix} -13/3\\7/3\\7 \end{pmatrix} \)

Bestimmen Sie mit dem Gauß-Verfahren, ob die Vektoren linear unabhängig sind?

Falls die Vektoren linear abhängig sind, geben Sie für die Linearkombination
 \( \vec{0} \)   = k1*a + k2*b + k3*c
die Faktoren k1, k2, k3 an, die nicht sämtlich verschwinden

Problem/Ansatz:

Sobald man eine obere Dreiecksmatrix erhält, sieht man, dass die Vektoren linear abhängig sind. Aber wie macht man weiter in der Matrix, damit man k erhält?

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Prüfe, wie sich die 3 Vektoren zu einem geschlossenen Vektorzug linear kombinieren lassen:$$x\cdot\vec a+y\cdot\vec b+z\cdot\vec c=\vec0\quad\Longleftrightarrow\quad x\begin{pmatrix}\phantom-3\\-3\\-3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-1\\\phantom-4\\-3\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-\frac{13}{3}\\[1ex]\phantom-\frac73\\[1ex]\phantom-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Gibt es dafür nur die triviale Lösung \((x=y=z=0)\), sind die 3 Vektoren linear unabhängig, andernfalls sind sie linear abhängig.

Diese Vektorgleichung können wir als lineares Gleichungssystem formulieren:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline3 & -1 & -13/3 & 0 &\\-3 & 4 & 7/3 & 0 &+\text{Zeile 1}\\-3 & -3 & 7 & 0 &+\text{Zeile 1}\\\hline 3 & -1 & -13/3 & 0\\0 & 3 & -2 & 0 & \div3\\0 & -4 & 8/3 & 0 &\\\hline 3 & -1 & -13/3 & 0 &+\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -2/3 & 0 &\\0 & -4 & 8/3 & 0 & +4\cdot\text{Zeile 2}\\\hline3 & 0 & -5 & 0 & \div3\\0 & 1 & -2/3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\\[-2ex]1 & 0 & -5/3 & 0 &\Rightarrow x-\frac53z=0 \\[1ex]0 & 1 & -2/3 & 0 & \Rightarrow y-\frac23z=0\\[1ex]0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\end{array}$$

Da die letzte Gleichung immer erfüllt ist, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac53z\\[1ex]\frac23z\\[1ex]z\end{pmatrix}=\frac z3\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}$$Es gibt also neben der trivialen Lösung noch eine weitere Lösung, sodass die Vektoren linear abhängig sind.

Answer 2

3a-3b-3c=0

-a+4b-3c = 0

-13/3*a +7/3*b+7c=0

(-13a+7b+21c = 0)

a = 7µ
b = 4µ
c = 3µ
 µ aus R

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

Comments

Was Du da vorrechnest hat recht wenig mit der Aufgabenstellung zu tun, da werden 3 Vektroen a,b,c als Linear-Kombination betrachtet, was auf das LGS

\(\left(\begin{array}{r}3 \; k1 - k2 - \frac{13}{3} \; k3\\-3 \; k1 + 4 \; k2 + \frac{7}{3} \; k3\\-3 \; k1 - 3 \; k2 + 7 \; k3\\\end{array}\right)= \vec{0} \)

führt ...