Lineare Algebra - Lineare Unabhängigkeit per Gaussverfahren

Question

Aufgabe:

Sei \(V = \mathbb{R}^2\)
Sei die Teilmenge \( X = \{v_1,v_2,v_3\} = \{\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix}\} \)

Dann ist er spanX = \( ⟨X⟩ = \{ \sum\nolimits_{i=1}^3 λ_iv_i \quad | \quad λ_i \in \mathbb{K}, v_i \in X ⊆ V \} = \mathbb{R}^2.  \)

Problem/Ansatz:

Ich vermute dass für den \( \mathbb{R}^2 \) ein Vektor \(v_i\) mit \(i = \{1,2,3\}\) zu viel in \(X\) ist, 
also es ist mit sicherheit möglich, den \( \mathbb{R}^2 \) mit zwei Vektoren \(v_i\) zu bilden. 

Ich packe alle drei Vektoren in eine Matrix und suche führe sie in Zeilenstufenform

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \)

→ Eliminieren kann man nicht wirklich weiter und links unten steht bereits eine Null, sodass
unter berücksichtigung der drei Vektoren \(v_1\) und \(v_2\) zu einander linear unabhängig sind.
Weiter ist aber auch  \(v_1\) und \(v_3\) zueinander linear unabhängig.
(Ich komme darauf weil in der ersten und zweiten Spalte ein Pivot steht. Rein theoretisch könnte auch in der ersten und dritten Spalte in Pivot sein.) 
Aber im obigen 2x3 Gleichungssystem sind \(v_2\) und \(v_3\) zueinander linear abhängig. 

Fazit:
Folglich müsste ich sagen können, dass \(⟨\mathbb{R}^2⟩ = \{v_1 , v_2 \} = \{ v_1 , v_3 \}.\)

Aber:
Wenn ich  \(v_2\) und \(v_3\) separat in eine Matrize packe, kann ich die ohne Probleme in ZSF bringen. 
Und mit denen lässt sich dann auch die Ebene Linearkombinieren. 


Frage:
Wieso geht das? Wieso bleiben die lin. abhängigen nicht immer lin. abhängig? 
Ich erwarte intuitiv eigentlich dass die linear abhängigen im 2x3-Gleichungssystem auch separat im 2x2-GLS linear abhängig bleiben. 

Answer 1

Stell mal deine Matrix anders auf

[2, 0]
[1, 2]
[-1, 2]

Und bringe die jetzt in Zeilenstufenform.

Das macht mehr Sinn.

2 Linear unabhängige Vektoren spannen den R2 auf. 3 Vektoren im R2 können nicht linear unabhängig sein.

Eine Basis kann gebildet werden aus (v1 und v2) oder (v1 und v3) oder (v2 und v3).

Comments

Stell mal deine Matrix anders auf

Nach Gaussverfahren bekomme ich

\( →  \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} .\)

Hier kriege ich eine Zeilenstufenform. :) und schliesse, für mich eindeutig, weil ich es so beigebracht bekam, daraus dass alle Vektoren (die jetzt neu in den Reihen stehen statt wie vorher in Spalten) zueinander linear unabhängig sind. 
Also erste Reihe korrespondiert zu v_1, zweite Reihe zu v_2, dritte Reihe zu v_3.

2 Linear unabhängige Vektoren spannen den R2 auf.

Das verstehe ich, denn eine Ebene hat zwei "Achsen", oder, das ist der Grund? 

3 Vektoren im R² können nicht linear unabhängig sein.

Weil ein dritter Vektor, bei bereits zwei bestehenden Vektoren in der Ebene immer keine zusätzliche dimension erzeugt, oder? Und daraus muss folgen, dass ein Dritter Vektor durch bereits zwei vorhandenen Vektoren linearkombiniert werden kann.

Fragen:

(1) Stimmen meine Kommentare? 
(2) Soll ich bei Aufgaben, bei denen eine Menge an Vektoren gegeben ist und sagen wir das minimale Erzeugendensystem gesucht ist, immer Zuerst die Matrix transponieren und dann erst per Gauss die linearabhängigen eliminieren ? ODer wieso meinst du, dass es mehr sinn macht?

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(1) Stimmen meine Kommentare?

Die Nullzeie ist linear abhängig zu den beiden oberen Zeilen. Man hat also nur zwei linear unabhängige Zeilen.

Rest stimmt. Unsere Lehrerin sagte früher immer n linear unabhängige Vektoren spannen einen n-Dimensionalen Raum auf.

Jeder weitere linear unabhängige Vektor bringt also eine neue Dimension dazu. Daher mussen drei Vektoren im R2 auch immer linear abhängig sein.

(2) Soll ich bei Aufgaben, bei denen eine Menge an Vektoren gegeben ist und sagen wir das minimale Erzeugendensystem gesucht ist, immer Zuerst die Matrix transponieren und dann erst per Gauss die linearabhängigen eliminieren ? Oder wieso meinst du, dass es mehr sinn macht?

Eine lineare Abhängigkeit erkennst du immer durch Nullzeilen. Daher schreibe ich sie immer in Zeilen auf.