Hallo !
Wenn nach der Definitionsmenge gefragt ist, musst du dich fragen, für welche x dein Term definiert ist.
Du siehst, dass du eine Wurzel in der Aufgabe hast.
Wie bereits von abakus beantwortet,
schaust du zuerst, ob du das was unter der Wurzel steht noch zusammengefasst werden kann.
Das Zusammenfassen der Wurzel in deiner Aufgabe
Wenn du das, was unter der Wurzel steht zusammenfassen willst, rechnest du zuerst die Punktrechnungen vor Strichrechnungen, das heisst, dass du hier als erstes die Klammern mit dem Distributivgesetz ausmultiplizierst mit der jeweiligen Zahl die daneben steht.
Dann erhältst du:
$$ \sqrt[2]{4x-4 + 5x + 10} . $$
Da du bereits Punktrechnung erledigt hast kommt als nächstes die Strichrechnung,
das heisst du fasst was unter der Klammer steht nochmal zusammen und bekommst: $$ \sqrt[2]{9x + 6}. $$
Was wissen wir generell über die Wurzel ?
Wir wissen, dass die Wurzel nur für die Zahl Null und alle positiven Zahlen definiert ist.
Das bedeutet, dass unter der Wurzel keine negativen Zahlen stehen dürfen, was gleichzeitig bedeutet,
dass wir aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen dürfen.
Das heisst, dass dein Term \(9x+6\) nicht negativ sein darf.
Was wiederum bedeutet, dass \(9x+6 ≥ 0\) sein muss.
Denn wenn nämlich \(9x+6 ≥ 0\) ist, ist das was unter der Wurzel bei dir steht nicht negativ und somit ist dann das Wurzelziehen erlaubt.
Der Definitionsbereich:
Da \(x\) die Variabel ist, für welche du beliebige Zahlen einsetzen kannst, bezieht sich die Frage nach dem Definitionsbereich also nach dem \(x.\)
Also die Frage umformuliert heisst: "Was darfst du für x einsetzen, damit du die Wurzelziehen kannst?"
Du weisst ja bereits dass gelten muss \(9x+6 ≥ 0.\)
Damit du aber die \(x\), also den Definitionsbereich bekommst,
kannst du obige Gleichung einfach nach \(x\) auflösen.
Das Auflösen nach x:
9x+6 ≥ 0. | -6
9x ≥ -6 | :9
x ≥ -6/9 = -2/3
Lösung:
Das heisst jetzt dass wenn du in deiner Gleichung eine Zahl x, die grössergleich -2/3 ist einsetzst,
ist der Wurzelterm deiner Aufgabe definiert und das Wurzelziehen erlaubt.
Achtung, wenn du eine Zahl für \(x\) einsetzen willst, die kleiner als -2/3 ist, bekommst du unter der Wurzel einen negativen Ausdruck und du darfst dann nicht mehr die Wurzel ziehen, da wie erklärt die Wurzel nur für Null und positive Zahlen definiert ist.
