(a) Forme die Gleichung b = a + 1/a so um, dass du die Gleichung b3 − 3b = a3 + 1/a3 erhältst.
(b) Sei \(x\in \mathbb{R}\) mit \(x > 0\) und \(x+\frac{4}{x} < 4\). Beweise direkt, dass dann \(x < 0\\) ist.
(c) Seien a, b, c, d ∈ R und c, d > 0. Beweise direkt: Aus a/c ≥ (a+b)/(c+d) oder (a+b)/(c+d) ≥ b/d folgt a/c ≥ b/d.
(d) Induktionsanfang: Setze die kleinste natürlliche Zahl in die Glecihung ein und prüfe ob du dadurch eine gültige Gleichung bekommst.
Induktionsvoraussetzung: Sei \(n\) größer als die kleinste natürliche Zahl und für diese Zahl gelte \(\sum_{k=1}^n(2k-1) = n^2\).
Induktionsschluss: Beweise direkt, dass \(\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1) = (n+1)^2\) gilt. Dabei darfst du die Induktionsveraussetzung verwenden.