Beweismethoden in der Mathematik

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit der angegebenen Technik:

(a) direkter Beweis: Seien a, b ∈ R. Falls b = a + 1/a gilt, dann gilt auch
b³ − 3b = a³ + 1/a³.

(b) Beweis durch Widerspruch: Für jedes x ∈ R mit x > 0 gilt x + 4/x ≥ 4.

(c) Beweis durch Kontraposition: Seien a, b, c, d ∈ R und c, d > 0. Aus a/c < b/d
folgt a/c < (a+b)/(c+d) < b/d.
.
(d) Beweis durch Induktion: Für n ∈ N gilt ∑ⁿ_k=1(2k − 1) = n².

Problem/Ansatz:

Ich fürchte ich habe die Beweismethoden im Unterricht nicht verstanden und bräuchte dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Falls mir wer helfen kann, wär ich ihm/ihr sehr dankbar.

Comments

Zu a) Beweis steht in einem folgenden Kommentar.

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Schon a) ist eine falsche Aussage.

Warum sollte die falsch sein?

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(Hat sich mit Kommentar von Arsinoe überschnitten)

HmmH

$$b=a + \frac{1}{a} \Rightarrow b^3-3b=a^3+3a^2\frac{1}{a}+3a\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}-3a-3 \frac{1}{a}=a^3+\frac{1}{a^3}$$

Answer 1

(a) Forme die Gleichung b = a + 1/a so um, dass du die Gleichung b³ − 3b = a³ + 1/a³ erhältst.

(b) Sei $x\in \mathbb{R}$ mit $x > 0$ und $x+\frac{4}{x} < 4$. Beweise direkt, dass dann \(x < 0\\) ist.

(c) Seien a, b, c, d ∈ R und c, d > 0. Beweise direkt: Aus a/c ≥ (a+b)/(c+d) oder (a+b)/(c+d) ≥ b/d folgt a/c ≥ b/d.

(d) Induktionsanfang: Setze die kleinste natürlliche Zahl in die Glecihung ein und prüfe ob du dadurch eine gültige Gleichung bekommst.

Induktionsvoraussetzung: Sei $n$ größer als die kleinste natürliche Zahl und für diese Zahl gelte $\sum_{k=1}^n(2k-1) = n^2$.

Induktionsschluss: Beweise direkt, dass $\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1) = (n+1)^2$ gilt. Dabei darfst du die Induktionsveraussetzung verwenden.

Answer 2

a)

$$b = a + \frac{1}{a} = \frac{a^2 + 1}{a} \newline \newline \newline \text{Im Folgenden einsetzen:} \newline b^3 - 3b \newline = \left(\frac{a^2 + 1}{a}\right)^3 - 3\left(\frac{a^2 + 1}{a}\right) \newline = \frac{a^6 + 3a^4 + 3a^2 + 1}{a^3} - \frac{3a^2 + 3}{a} \newline = \frac{a^6 + 3a^4 + 3a^2 + 1}{a^3} - \frac{3a^4 + 3a^2}{a^3} \newline = \frac{a^6 + 1}{a^3} \newline = a^3 + \frac{1}{a^3}$$

Comments

b)

Nehmen wir mal an x + 4/x ≥ 4 würde nicht gelten, dann gilt also

x + 4/x < 4  | *x mit x > 0

x² + 4 < 4x

x² - 4x + 4 < 0

(x - 2)² < 0

Diese Aussage führt jetzt zu einem Widerspruch.

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Setze für x einfach mal -1 ein

Warum sollte Jennifer das tun? In der Aufgabenstellung steht etwas gegenteiliges (rot und fett hervorgehoben:

Beweis durch Widerspruch: Für jedes x ∈ R mit x > 0 gilt

Hier soll einfach ein indirekter Beweis geführt werden (beim dem die Gegenannahme auf (x-2)²<0 führt.)

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Was ich vorher geschrieben habe, war Unfug. Ich habe es korrigiert.