Schreibe die Permutation (1234)(1357)(5678) als produkt von disjunkten Trägern.

Question

Aufgabe:

Schreibe die Permutation (1234)(1357)(5678) als produkt von disjunkten Trägern. Ich komme da irgendwie nie auf eine ordentliche Lösung, könnte mir da bitte jemand helfen, wie man da vorgeht) ?

Die Lösung sagt (14)(2356)(78).

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Definiere was du mit ordentliche Lösung meinst.

Beachte dass es mehrere Möglichkeiten gibt, die Permutation (1234)(1357)(5678) als Produkt von disjunkten Zykeln zu schreiben.

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Ich schaffe es nicht, dass die Träger disjunkt sind, bzw wenn ich es schaffe, entspricht es nicht der Lösung

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würde auch (14)(235678)gehen?

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Der Träger einer Permutation ist die Menge aller Elemente, die durch die Permution nicht auf sich selbst abgebildet werden. Insbesondere ist der Träger keine Permutation, sondern eine Teilmenge der Elemente, die durch die Permutation permutiert werden. Die Aufgabe "Schreibe die Permutation (1234)(1357)(5678) als Produkt von disjunkten Trägern." ergibt deshalb keinen Sinn.

würde auch (14)(235678)gehen?

Nein. Anzahl, Länge und Träger der Zykel sind durch die Permutation eindeutig festgelegt.

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also muss es im Muster (ab)(cdef)(gh) oder würde auch zb (134)(256)(78) gehen?

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Laut Lösung (14)(2356)(78) gibt es einen Zykel der Länge 2 mit Träger {1, 4}, einen der Länge 2 mit Träger {7, 8} und einen der Länge 4 mit Träger {2, 3, 5, 6}. Aber die Zykel dürfen in beliebiger Reihenfolge vorkommen (Multiplikation von disjunkten Zykeln is kommutativ) und auch innerhalb der Zyklen darf die Reihenfolge anders sein (aber nicht beliebig).

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Ich habe es jetzt verstanden, vielen Dank :)!

Answer 1

(1234)(1357)(5678)

Die 5 wird durch (5678) auf die 6 abgebildet. Die 6 wird durch (1357) auf die 6 abgebildet. Die 6 wird durch (1234) auf die 6 abgebildet. Also wird die 5 durch (1234)(1357)(5678) auf die 6 abgebildet.

        $(5\ 6$

Die 6 wird durch (5678) auf die 7 abgebildet. Die 7 wird durch (1357) auf die 1 abgebildet. Die 1 wird durch (1234) auf die 2 abgebildet. Also wird die 6 durch (1234)(1357)(5678) auf die 2 abgebildet.

        $(5\ 6\ 2$

Die 2 wird durch (5678) auf die 2 abgebildet. Die 2 wird durch (1357) auf die 2 abgebildet. Die 2 wird durch (1234) auf die 3 abgebildet. Also wird die 2 durch (1234)(1357)(5678) auf die 3 abgebildet.

        $(5\ 6\ 2\ 3$

Die 3 wird durch (5678) auf die 3 abgebildet. Die 3 wird durch (1357) auf die 5 abgebildet. Die 5 wird durch (1234) auf die 5 abgebildet. Also wird die 3 durch (1234)(1357)(5678) auf die 5 abgebildet.

        $(5\ 6\ 2\ 3)$

Das ist einer der Zykel. Bestimme nach dem gleichen Muster die anderen beiden Zykel.

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dankeschön :)