Für welche Argumente ist die Auswertung von cos(x) und sin(x) gut, für welche schlecht konditioniert?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Auswertung von \( \cos (x) \) und \( \sin (x) \). Für welche Argumente ist ihre Berechnung gut, für welche schlecht konditioniert?

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht klar, was bei dieser Aufgabe genau zu tun ist. Was ist unter Auswertung gemeint - soll man den relativen Fehler berechnen \( k_{i j}:=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(x) \frac{x_{j}}{f_{i}(x)} \)?

Was gut und schlecht konditioniert bedeutet ist mir klar:

"schlecht konditioniert", falls \( \left|k_{i j}(x)\right| \gg 1 \), ansonsten "gut konditioniert".

Danke für hilfreiche Erklärungen ☺

Comments

Bei dieser Formulierung sehe ich auch nur die Frage nach der Konditionszahl von sin bzw. cos, mit der Diskussion, wann diese absolut viel größer als 1 ist.

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OK - die relative Konditionierung bekomme ich ja über die Taylorentwicklung.

sin(x) = \( \frac{cos(x)}{sin(x)} \)*x

cos(x) = \( \frac{sin(x)}{cos(x)} \)*x = tan(x)*x

Wie muss ich dann weiter machen bzw. entwickeln?

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Jetzt schaust du für welche Werte von x die Konditionierung über 1 liegt und damit schlecht konditionierst ist und für welche unter 1. Dafür ist unter anderem des öfteren eine Grenzwertbetrachtung mit z.B. L'hopital sinnvoll oder auch Abschätzung nach oben durch die Beschränktheit der Funktionen.

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So ganz verstehe ich die Thematik immer noch nicht - aber ich würde mir jetzt mal folgendes denken:

Für sin(x) ist ja \( \frac{cos(x)}{sin(x)} \)*x=k(x) die Konditionszahl. Wenn dann x-->0, geht k-->1, weil \( \frac{sin(x)}{x} \)-->1 . Somit wäre es ja dann gut Konditioniert für x=0

Für cos(x) ist \( \frac{sin(x)}{cos(x)} \)*x = tan(x)*x=k(x) die Konditionszahl. wenn dann x-->0, strebt k(x)-->0

Stimmt das soweit? Wie ich dass jetzt aber formal richtig anschreibe habe ich immer noch nicht begriffen bzw. wie ich zur formal richtigen Auswertung komme.

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bis jetzt hast du nur einen Grenzwert betrachtet. Was passiert zwischen Werten 0 und pi/2 und was passiert bei pi/2 . Wie kannst du dies verallgemeinern für alle weiteren Teilintervall (weil ja sin und cos periodisch sind) Was hilft, ist Wolfram alpha...

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@VzQXI

So ganz habe ich es leider immer noch nicht verstanden:

Bei dem Wert pi/2 würde doch folgendes passieren

tan(x)*x geht gegen ∞ bzw -∞
\( \frac{cos(x)}{sin(x)} \)*x wäre dann 0 "also gut konditioniert?"

Aber wie zeige ich das dann für alle Werte zwischen 0 und pi/2 (auch mit Wolfram)

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??????????????????????

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sin(x) = \( \frac{cos(x)}{sin(x)} \)*x

Das ist mir neu. Falls du gute Quellen dazu angeben kannst, würde ich mich frehehoyen.

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@rumar

Das ist mir neu. Falls du gute Quellen dazu angeben kannst, würde ich mich frehehoyen.

Wieso sollte das nicht stimmen!? Ich will ja \( k=\left|\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \cdot x\right| \) berechnen

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Müsste ich die beiden Funktionen nicht auch noch für 2π betrachten (neben o und π/2)?

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Ich meine, Du machst Dir zuviele Gedanken in dieser Sache. "Schlecht konditioniert" ist ja einen nicht exakt quantifizierte Eigenschaft. Wesentlich ist, dass für die Beurteilung der Fortpflanzung des relativen Fehlers die Konditionszahl betrachtet wird, also für den sin:

$$k(x):=\cos(x)\frac{x}{\sin(x)}$$

Der erste Faktor ist im Betrag beschränkt durch 1. Jetzt würde ich nur noch 2 Punkte qualitativ angeben:

1. Der zweite Bruch wird (absolut) sehr viel größer als 1, wenn der Nenner gegen 0 geht, also für die Nullstellen des sin. Ausnahme: x=0 wegen \(x/\sin(x) \to 1\)

2. Der Bruch kann (absolut) mit wachsendem |x| sehr groß werden, Ausnahme in der Nähe der Nullstellen des cos.

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@ Mathhilf - Danke dir für deine Erklärung (macht die Thematik deutlich verständlicher für mich)