Question

Weiß jemand, wie ich beim unteren Graphen die Funktion bestimmen kann?

Außer raten fällt mir da leider nichts ein, auch sind mir keine ähnlichen Funktionen bekannt.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion hat Nullstellen bei \((x=-3)\) und bei \((x=0)\).

Ich würde daher folgenden Ansatz wählen:$$f(x)=a\cdot x\cdot(x+3)$$

Zur Bestimmung der Konstanten \(a\) kannst du den Punkt \((-1|1)\) einsetzen:$$1=f(-1)=a\cdot(-1)\cdot(-1+3)=-2a\implies a=-\frac12$$Das führt uns auf die Funktionsgleichung:$$f(x)=-\frac12\cdot x\cdot(x+3)$$

~plot~ -1/2*x*(x+3) ; [[-5|4|-4|2]] ~plot~

Answer 2

Es ist eine Parabel:

f(x) = ax^2+bx+c

f '(x)= 2ax+b

f(0) = 0

f(-3) =0

f(-1) = 1l.

Gleichungssystem:

1. c= 0

2. 9a-3b= 0

b= 3a

3. a-b = 1

a-3a = 1

a= -1/2

b= -1,5

f(x) = -1/2x^2-1,5x = -1/2*(x^2+3)

Answer 3

\(f(x)=a  x^2+bx+ c\)

\(N_1(-3|0)\):

\(f(-3)=9a-3b+ c\)

\(9a-3b+ c=0\)   →\( c=3b-9a\)

\(f(x)=a x^2+bx+ 3b-9a\)

\(N_2(0|0)\):

\(f(0)= 3b-9a\)  →  \( 3b-9a=0\)→  \( b=3a\)       \( c=0\)

\(f(x)=a x^2+3ax\)

\(P(-1|1)\)

\(f(-1)=a -3a=-2a\)  →\(-2a=1\)    →\(a=-\frac{1}{2}\)   \( b=-\frac{3}{2}\)

\(f(x)=-\frac{1}{2}  x^2-\frac{3}{2}x\)

Answer 4

Kleiner Tipp:

1. Kann man bei einer vermuteten Parabel die Nullstellen n1 und n2 ablesen, kann man die faktorisierte Form aufstellen.

f(x) = a·(x - n1)·(x - n2)

2. Kann man den Scheitelpunkt S(Sx | Sy) ablesen stellt man die Scheitelpunktform auf

f(x) = a·(x - Sx)^2 + Sy)

In jedem Fall kann man das a über einen weiteren Punkt bestimmen.

3. Kennst du nur 3 beliebige Punkte, wählt man den Ansatz über ein lineares Gleichungssystem

f(x) = a·x^2 + b·x + c

Hier kann man dann a, b und c über 3 Punktbedingungen bestimmen.

Tschakabumba hat das in seiner Antwort sehr schön über die faktorisierte Form vorgemacht. Daran solltest du dich halten, denn das ist mit der einfachste und schnellste Weg.