Ermittle die Gleichung der Polynomfunktion

Question

Das Profil einer Rampe soll durch eine Polynomfunktion 3. Grades beschrieben werden.
Die Rampe muss einen Höhenunterschied von 75 cm zwischen zwei waagrechten Wegen ausgleichen. Die Übergänge sollen ohne Knick, also mit gleicher Steigung, erfolgen. Die maximale Steigung der Rampe soll 10 % betragen. Ermittle die Gleichung der Polynom-funktion, wenn der Beginn der Rampe im Koordinatenursprung liegt.

Answer 1

Polynomfunktion 3. Grads mit f(x)=ax^3 +bx^2+cx+d

gibt es mit einem Hoch und einem Tiefpunkt.

Sei y=75 für x<0 der eine waagerechte Weg für x<0 und

die x-Achse der andere. Dann geht es, wenn ein Hochpunkt bei (0;75)

liegt und der Tiefpunkt auf der positiven x-Achse bei (u;0).

Dann ist der Wendepunkt bei u/2 und soll weniger als 10% Steigung haben,

also f ' ' (u/2) < 0,1.

Mit f(0)=75 bekommst du d=75 und mit f'(0)=0 gibt es c=0.

Also bleibt f(x)=ax^3 +bx^2+75.  Dann gibt es

f ' ' (u/2)= 3au +2b<0,1 #  und  f(u)=au^3 + bu^2+75=0

Aber da bei u ein Tiefpunkt ist, gilt auch f'(u)=0 , also

       3au^2 +2bu =0

Jetzt a und b und u ausrechnen z.B. mit einer Gleichung statt #.

Answer 2

So sieht das aus:

Da (0|0) ein Kurvenpunkt mit waagerechter Tangente ist, lautet der Ansatz f(x)=ax³+bx².

Der Wendepunkt W(3,75|0,375) liegt in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt.

f ''(x)=6ax+2b. Dann gilt

f(3,75)=0,375 also (1) 0.375=3,75³a+3,75²b

f ''(3,75)=0  also    (2) 0=6·3,75a+2b

Das System (1),(2) hat die Lösungen a= - \( \frac{4}{1125} \) und b=\( \frac{1}{25} \).

Diese Lösungen in den Ansatz einsetzen.

Comments

Wie hast du denn die x-Koordinate vom Wendepunkt bestimmt?

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Der Wendepunkt W(3,75|0,375) liegt in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt. (Das ist bei allen kubischen Parabeln mit zwei Extrema der Fall)

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Ja, ich weiß. Andererseits ist aber nur der vertikale Abstand der Extrempunkte bekannt, nicht aber der horizontale. Oder habe ich irgendwas übersehen?