Sättigungsmenge und Elastizität

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bei der Herstellung eines Gutes entstehen in Abhängigkeit von der Produktionsmenge Kosten in Höhe von
\( \mathrm{K}(\mathrm{x})=\frac{2}{3} \cdot \mathrm{x}^{3}-28 \cdot \mathrm{x}^{2}+149,5 \cdot \mathrm{x}+3375 \)
Die hergestellte Menge des Gutes wird am Markt gemäß folgender Preis-AbsatzFunktion
\( \mathrm{p}(\mathrm{x})=-\frac{1}{2}+\frac{175}{\mathrm{x}} \)
abgesetzt.
i. Bestimmen sie die Sättigungsmenge.
ii. Ist die Preis-Absatz-Funktion bei einer Absatzmenge von 5 Mengeneinheiten elastisch? Bitte begründen Sie Ihre Antwort.
iii. Bestimmen Sie die Nachfragefunktion \( \mathrm{x}(\mathrm{p}) \).
iv. Bestimmen Sie den maximalen Gewinn.

Answer 1

a) Bestimmen Sie die Sättigungsmenge.

p(x) = 175/x - 1/2 = 0 → x = 350

b) Ist die Preis-Absatz-Funktion bei einer Absatzmenge von 5 Mengeneinheiten elastisch? Bitte begründen Sie Ihre Antwort.

ε(x) = p'(x)/p(x)·x = 350/(x - 350)
ε(5) = -1.014 → sehr elastisch

c) Bestimmen Sie die Nachfragefunktion x(p).

p = 175/x - 1/2 → x(p) = 350/(2·p + 1)

d) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn.

G(x) = x·p(x) - K(x) = - 2/3·x^3 + 28·x^2 - 150·x - 3200
G'(x) = - 2·x^2 + 56·x - 150 = 0 → x = 25 ME (∨ x = 3)
G(25) = 133.33 GE

Answer 2

iii)

p(x) nach x umstellen:

p = -1/2+175/x

175/x = p+1/2 = (2p+1)/2

x/175 = 2/(2p+1)

x= 350/(2p+1) = x(p)

iv. G(x) = p(x)*x -K(x)

Bestimme: G'(x) = 0