Break even point Mithilfe Preis Absatz und Kostenfunktion

Question

Aufgabe:

Bei der Herstellung eines Produktes seien die Grenzkosten für die Herstellung von x Einheiten K'(x) und die Fixkosten K(0).

1.Bestimmten Sie die Gesamtkostenfunktion K(x), wenn K'(x) = x +4 und Fixkosten 40

Preis-Absatz Funktion ist p(x)= 22- x

2.Berechnen Sie die Break-even Punkte

3.Berechnen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge

Problem/Ansatz:

Ich kenne leider nur die Methode, indem man die Fixkosten durch den Stückdeckungsbeitrag teilt.

Folgender Ansatz habe Ich, weiß leider nur nicht ob das richtig ist...

1.Grenzkostenfunktion * x und die Fixkosten "dranhängen" also : K(x)= x^2+4x +40

Preis-Absatz-Funktion ebenfalls *x  also:

p(x)=22x-x^2

2. Nach der oben Beschriebenen mir bekannten Methode würde ich rechnen:

40/22-4 = 2,22

P(2,22) = 43.91

Break even Punkte also (2,22|43.91)

3.Gewinnfunktion aufstellen:

G(x)= (22x-x^2) - (x^2+4x+40)

Diese Funktion geht bei mir leider nicht auf, normalerweise müsste ich ja die erste Ableitung bilden und dann mithilfe der pq-Formel die gewinnmaximale Produktionsmenge berechnen.

Bin wie immer, für jede Hilfe dankbar :(

Comments

Oder muss ich die Preis absatz Funktion überhaupt nicht * x rechnen??

Dann wäre

zur Aufgabe 2. =    x^2+5x+18

Und das dann Mithilfe der PQ-Formel lösen???

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Also ich habe eben noch eine alte Lösung gefunden, die mich noch mehr verwirrt....

f(x)= 0,5x^2+4x+40

p(x)= 22x-x^2

G(x)= 22x-x^2-(0,5x^2+4x+40)

       = -0,5x^2+16x+40

Dann müsste ich ja mithilfe der aufgelösten Gewinnfunktion und der pq-formel auf die Break-even punkte kommen... aber kann dieselbe nicht für die Gewinnmaximale Produktionsmenge verwenden, da kein x^2 ??

Woher kommt den aber die 0,5 bei der Gesamtkostenfunktion??

Sorry ich glaube, ich bin einfach zu doof :((

Answer 1

Ich denke die Grenzkostenfunktion ergibt sich aus der Gesamtkostenfunktion durch ableiten. Dementsprechend muss man um aus der Grenzkostenfunktion wieder die Gesamtkostenfunktion zu bekommen die Stammfunktion bilden.

K(x)=1/2*x^2+4x+40

Die Preis Absatz Funktion ist bereits gekennzeichnet als p(x). Wenn du sie mit x multiplizierst, kann sie nicht immer noch p(x) heißen. x*p(x) ist der Erlös E(x).

Jetzt kannst du mit deinen Ansätzen weiter machen.

Comments

habe eben wie oben Kommentiert ... die alten Lösungen gefunden.. aber wie kommst du den auf 0,5x^2 ??

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Du musst von der Grenzkostenfunktion die Stammfunktion bilden. Das hast du vielleicht mal gelernt im Rahmen der Integralrechnung.

Wenn du x^a hast dann ist die Stammfunktion 1/(a+1)*x^{a+1}

Angewendet heißt das du hast hier in der Grenzkostenfunktion ein x stehen, also x^1. Den exponenten erhöhst du um 1 also x^2. Dann schreibst du davor den Bruch 1 durch den neuen exponenten also 1/2.

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Hmm ok, dass schaue ich mir gleich mal an.

Könntest du mir vielleicht sagen ob mein Ansatz richtig ist..

die aufgelöste Gewinnfunktion mithilfe der pq-formel berechnen um auf die Break-even Punkte zu kommen??

Bzw. wie berechne ich dann die gewinnmaximierende Produktionsmenge???

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Dein Ansatz ist richtig. Nur die Rechnung ist falsch. Du hast

22x-x^2-(0,5x^2+4x+40)

=-1,5x^2+18x-40

Das ist die gewinnfunktion. Diese nullsetzen und mit der pq Formel die break even Punkte bestimmen. Dann ableiten und die Ableitung nullsetzen. Wieder nach x auflösen. Das ist dann die gewinnmaximale produktionsmenge.

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Alles verstanden :)  auch das Intergrieren :)

Vielen vielen Dank !!!

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Hier noch meine Lösung und eine zusätzliche Frage ( Mathematik ist bei mir schon 3 Jahre her :D )

x1= -2,95

x2=-9,05

Gewinnmaximale Produktionsmenge = 6

Noch eine Frage zur Schreibweise ist das richtig??

-1,5x^2+18x-40   |:(-1,5)

= x^2-12x+26,67

-12/2 +- √(-12/2)^2 -26,67

Steht am Anfang vor der 12 immer ein Minus? Ich dachte eigentlich nur wenn es +12 wäre.. in der Klammer nach √ also bei 12 sollte es ja egal sein da ^2  und minus * minus ergibt ja Plus das weiß ich noch :)

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Die break even Punkte können nicht negativ sein. Eine negative ausbringungsmenge gibt es nicht. Da sollte 3 und 9 rauskommen. Ganz wichtig bei den break even Punkten immer ganze Zahlen angeben, weil wir mal davon ausgehen, das es nur ganze Einheiten gibt die produziert werden können.

6 ist richtig.

Wichtig ist das du erst mal die Funktion null setzt bevor du sie unformst. Also

-1,5x^2+18x-40=0

x^2-12x+80/3=0

Das ist nun die normalform für die pq Formel.

x_{1,2}=12/2±√(6^2-80/3)