Wie kann ich die Lösung der folgenden Ungleichung als Intervall darstellen?

Question

Stellen Sie die Menge der Lösungen \( x \in \mathbb{R} \) der folgenden Ungleichungen in Form von Vereinigungen dar. Veranschaulichen Sie die Ungleichungen und Lösungsmengen durch Betrachtung geeigneter Funktionsgraphen
(a) \( |x+1|-|x|+|x-1|<2 \)
(b) \( \sqrt{5 x-10}>|x-2| \)

Folgende Aufgaben.

Für Beispiel b bekomme ich als Lösungsmenge L=]2;7[ heraus. Stimmt das?

Beispiel a) bräuchte ich bitte eine Lösung.

Answer 1

Deine Lösung für b) ist richtig.

|x + 1| - |x| + |x - 1| < 2

Fall 1: x ≤ -1

-(x + 1) + (x) - (x - 1) < 2 --> x > -2

Fall 2: -1 ≤ x ≤ 0

(x + 1) + (x) - (x - 1) < 2 --> x < 0

Fall 3: 0 ≤ x ≤ 1

(x + 1) - (x) - (x - 1) < 2 → x > 0

Fall 4: x ≥ 1

(x + 1) - (x) + (x - 1) < 2 → x < 2

Lösungszusammenführung

-2 < x < 0 oder 0 < x < 2

Comments

Kannst du mir noch kurz erklären wie du auf die Fälle kommst? Bzw. warum beim ersten Fall x kleinergleich -1 sein soll.?

---

Du fragst nach den Nullstellen der Betragsfunktionen. Die sind hier bei -1, 0 und 1. Dort unterteilst du die Fälle

Natürlich braucht man die Nullstellen der Betragsfunktion nur in einem Fall mit abbilden. Ich nehme sie allerdings immer in beide angrenzenden Fälle auf. Es gilt ja immer |0| = -(0) = +(0)

---

Sollte beim letzten Fall nicht stehen x < 2 ?

---

Sollte beim letzten Fall nicht stehen x < 2 ?

Ja, das ist korrekt. Hatte ich nach dem Copy & Paste nicht geändert. Hab ich jetzt aber geändert.

---

Aber müsste es hier nicht mehr Fälle geben?

---

Aber müsste es hier nicht mehr Fälle geben?

Wie viele Nullstellen gibt es für die Terme in den Beträgen? Das sind 3 Stück, oder nicht? Und in wie viele Bereiche wird ein Zahlenstrahl von diesen 3 Werten geteilt.

Answer 2

a) 4 Fälle:

1.x<-1

2.-1<=x<0

3.0<=x<1

4. x>=1

Answer 3

\( \sqrt{5 x-10}>|x-2|   | ^{2}\)

\( 5 x-10>x^2-4x+4  \)

\( -x^2+9 x>14  |\cdot(-1)  \)

\( x^2-9 x<-14   \)

\((x-\frac{9}{2})^2<-14+(\frac{9}{2})^2=-14+\frac{81}{4}=-\frac{56}{4} +\frac{81}{4}=\frac{25}{4} \)

\((x-\frac{9}{2})^2<\frac{25}{4}    |\sqrt{~~}\)

1.)

\(x-\frac{9}{2}<\frac{5}{2}   \)

\(x_1<7  \)

2.)

\(x-\frac{9}{2}>-\frac{5}{2}  \)

\(x_2 >2 \)

\(2<x<7\)

Answer 4

Man muss nicht alle Fälle bei (a) durchrechnen. Wir wissen: Zwischen den Nullstellen der Betragsfunktionen (|x+1|, |x|, |x-1|) sowie links und rechts dieser Nullstellen ist der Graph der Funktion immer ein Geradenstück.

Wir betrachten also die Funktion

\(f(x) = |x+1|-|x|+|x-1|-2\)

und untersuchen, wo \(f(x)<0\) gilt:

Testwert x	-2	-1	0	1	2
f(x)	0	-1	0	-1	0

Dies sind die Koordinaten von 5 Punkten auf dem Graphen von f. Dabei sind x=-1, x=0 und x=1 die Nullstellen der einzelnen Betragsfunktionen. Die Lösungsmenge ist also

\(L=(-2,0) \cup (0,2)\).

Hier ist noch der Graph von f(x).

Comments

Das ist zu oberflächlich. Nach deiner Methode wäre prinzipiell auch noch je ein Testwert unterhalb von -2 und oberhalb von 2 notwendig.

Die Möglichkeit x<-2 entfällt wegen des Definitionsbereichs der Wurzelfunktion.

Aber ein Test für x>2 muss noch geliefert werden.

---

@abakus
Da ist keine Wurzelfunktion in Teil (a).

Und wenn man etwas "oberflächlich" nennt, muss man dies auch belegen.

Nenne mir einen Grund, wieso meine Erklärung mit den Geradenstücken nicht stimmt.

Nochmal für dich:
Zwischen den Nullstellen der Betragsfunktionen und links und rechts davon ist die Funktion jeweils eine Linearkombination linearer Funktionen (und dort somit selbst wieder linear).

---

Da ist keine Wurzelfunktion in Teil (a).

Sorry, ich hatte gedanklich a) mit b) vermischt.

---

Sorry, ich hatte gedanklich a) mit b) vermischt.

Tröstlich,zu wissen, dass auch Sie nur ein Mensch sind und so etwas auch Ihnen

passieren kann.

Dann kommt im Moment nur hj2166 der status divinus zu.

Oder ist Verwechseln nicht auch etwas Göttliches?

Vlt. ist die Schöpfung auch nur ein Verwechslungsprodukt, weil im

Quantenvakuum der Symmetriebruch eine Verwechslung war.

Der Bruch sollte eigentlich zu einem stresslosen Entertainment führen.

Irgendeiner/Irgenetwas hat das wohl "stressgroßen" gelesen.