Relationen, Reflexivität, Symmetrie und Transitivität

Question

Aufgabe:

$$\text{Wir betrachten die Menge } P_2(X) \text{ der 2-elemtigen Teilmengen von X=\{1,2,3,4\}.}\\\text{Auf dieser Menge definieren wir nun eine Relation R.}\text{Wir sagen, dass } A \in P_2(X) \text{ in Relation zu } B \in P_2(X) \\\text{ steht, wenn } A \cap B \neq \emptyset \text{ ist und die Summe der kleineren Zahl in A mit der größeren Zahl in B gerade ist.}\\\text{Folgende Mengen sind gegeben:}\\ \text{ \{1,2\}; \{1,3\}; \{1,4\}; \{2,3\}; \{2,4\}; \{3,4\}}\\\text{(i) Zeichnen Sie jeweils einen Pfeil von A nach B, wenn A in Relation zu B steht und visualisieren Sie somit die Relation R.}\\\text{(ii) Überprüfen Sie die Relation R auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.}$$
Für die (i) habe ich:{1,2} -> {1,3}{1,2} -> {2,3}
{1,3} -> {2,3}{1,4} -> {1,3}{2,3} -> {2,4}{2,3} -> {1,2}{2,3} -> {3,4}{2,4} -> {1,4}
{2,4} -> {1,2}
{2,4} -> {3,4}{3,4} -> {1,3}
{3,4} -> {2,3}
Gerne nochmal drüber schauen, aber ich denke, dass die (i) korrekt ist.
Mein Problem ist, wie ich an die (ii) herangehen soll. Soll ich jede Relation R, die ich bei der (i) gefunden habe, auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität überprüfen? Leider weiß ich auch nicht so ganz genau, wie man das macht. Könnte mir jemand eventuell ein Beispiel aus den oben genannten Relationen für Reflexivität, Symmetrie und Transitivität geben.
Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

reflexiv ist die Rel. nicht, denn dann müsste jede der vorkommenden

Mengen mit sich selbst in Rel. stehen.

Symmetrie:  Du hast :{1,2} -> {1,3} aber nicht :{1,3} -> {1,2},

also keine Symmetrie.

Du hast :{1,2} -> {1,3} und {1,3} -> {2,3} , dann muss auch {1,2} -> {2,3}

gelten. Das ist bei diesem Beispiel der Fall. Prüfe, ob es in allen

Fällen richtig ist,

wenn man sowas wie A -> B und B -> C hat, ob dann immer auch A ->  C

gilt, dann wäre es transitiv.

Comments

Super. Ich hab's verstanden! Vielen Dank!