Zeigen sie das es keine Maxima gibt

Question

Aufgabe:

Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen Oberfläche von 100cm ein möglichst großes Volumen besitzen.

Wie müssen die Maße des Kartons gewählt werden?

Zeigen sie das es keine Maxima gibt.

Problem/Ansatz:

hatte jtzt mit der oberflächenformel eines Quader gerechnet bin aber nicht weiter gekommen

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Oberfläche von 100cm

Flächeninhalte werden nicht in Längeneinheiten gemessen.

Answer 1

NB

O = a^2 + 4·a·h = 100 --> h = 25/a - 0.25·a

HB

V(a) = a^2·h = a^2·(25/a - 0.25·a) = 25·a - 0.25·a^3

V'(a) = 25 - 0.75·a^2 = 0 --> a = 10/3·√3 = 5.774

V(10/3·√3) = 500/9·√3 = 96.225

Skizze

Man erkennt deutlich, dass dies ein Maximum ist.

~plot~ 25x-0.25x^3;{5.774|96.225};[[0|10|0|100]] ~plot~

Comments

Vielen lieben Dank für deine Nachricht. Könntest du mir aber erklären warum du ableitest? Und den letzen Schritt nochmal genauer komme nicht auf das selbe Ergebnis :(

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Notwendige Bedingung für Extrempunkte ist, dass die erste Ableitung 0 wird.

Mach doch mal vor, was du genau gerechnet hast.

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ich habe v(5,77)= 5,77^2*25/5,77-0,25*5,77

das rechne ich am ende

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Du hast die Klammer vergessen

V(a) = a^2·(25/a - 0.25·a)
V(5.77) = 5.77^2·(25/5.77 - 0.25·5.77)

Die Klammer ist schon wichtig und darf nicht so einfach weggelassen werden. Man kann aber ausmultiplizieren

V(a) = 25·a - 0.25·a^3
V(5.77) = 25·5.77 - 0.25·5.77^3

Answer 2

Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen Oberfläche von 100cm^2 ein möglichst großes Volumen besitzen.

\(V(a,h)=a^2*h\) soll maximal werden.

\(O(a,h)=a^2+4*a*h=100cm^2 \)

\(4*a*h=100-a^2\)

\(h=\frac{100-a^2}{4a}\)

\(V(a)=a^2*\frac{100-a^2}{4a}=a*\frac{100-a^2}{4}=\frac{1}{4}*(100a-a^3)\)

\(V´(a)=\frac{1}{4}*(100-3a^2)\)

\(\frac{1}{4}*(100-3a^2)=0\)

\(a=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10}{3}*\sqrt{3}\)

\(h=\frac{100-\frac{100}{3}}{4*\frac{10}{3}*\sqrt{3}}=\frac{5}{3}*\sqrt{3}\)

\(V´´(a)=\frac{1}{4}*(-6a)\)

Wenn du nun \(a=\frac{10}{3}*\sqrt{3}\) einsetzt , dann ist \(V´´(\frac{10}{3}*\sqrt{3})=\frac{1}{4}*(-6*\frac{10}{3}*\sqrt{3})<0\)→Maximum