Untersuchen Sie die Einschränkung der Funktion f auf Ursprungsgeraden hinsichtlich lokaler Minima bzw. Maxima

Question

Aufgabe Multivariate Optimierung:

Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( f(x, y)=\left(y-x^{2}\right)\left(y-2 x^{2}\right) \)

Untersuchen Sie die Einschränkung der Funktion \( f \) auf Ursprungsgeraden hinsichtlich lokaler Minima bzw. Maxima, d.h. betrachten Sie die Funktion \( g \), die sich ergibt, wenn Sie \( x=0 \) bzw. \( y=a x \) für \( a \in \mathbb{R} \) setzen. Was stellen Sie fest?

Ansatz/Problem:

Ich verstehe nicht, was hier gefragt wird. Ich habe bestimmt, dass f(0;ax)=ax^2 und dann? Soll ich die Hessematrix erstellen und schauen, wo min und max sind?

Answer 1

du sollst entweder \( x= 0 \) setzen oder \(y = ax\) und nicht beides. Du kriegst in beiden Fällen eine Funktion die nur eine Variable enthält. Wie du diese auf Extremstellen untersuchen kannst sollte dir bereits bekannt sein :).

Gruß

Comments

also meine 2 Ableitung von g(x) = 2 also es ist ein Minimum. Bedeutet das etwas desonderes, dass die Ableitung hängt nicht von der Variable ab? 

Diese Frage in Aufgabenstellung läutet' Was stellen sie fest?". Aber ich kann sagen nur, dass es nicht weiter differenzuerbar ist.

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Naja beschränkt auf die y-Achse erhältst du offensichtlich eine nach oben geöffnete Parabel. Ist ja klar das die nur ein globales Minimum besitzt. Viel interessanter ist doch der andere Fall bezüglich der Ursprungsgraden.

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im anderen Fall ist meine 2 Ableitung g(x)= 2a^2. Also wir können nicht sagen ob es ein Max oder Min ist? 

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Deine zweite Ableitung ist falsch. 

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oh, sorry, ich meinte so: g''(x) =2a^2-18ax*24x^2   und  g''(0)=2a^2 wo x=0 ist eine  Nullstelle der 1. Ableitung von g(x)

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Deine zweite Ableitung ist zwar immer noch nicht richtig, aber g'(0) = 0 ist richtig also möglicher Extremwert.  g''(0) = 2a^2 ist ebenfalls korrekt. Was bedeutet das also?

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 Bedeutet das, dass es hier sowohl Min als auch Max sein kann (abhängig vom Wert von a? Also ist die Funktion nicht beschränkt ?

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Kann \(a^2\) negativ sein? Und was ist wenn \(a=0\)?