Schnittwinkel Quader Trigonometrie

Question

Aufgabe:

Ein Quader hat die Seitenlängen x, x und 2x. M halbiert die Kante AB. Es soll die Größe des Winkels Φ ermittelt werden.

Problem/Ansatz:

Ich habe

MG=x\( \sqrt{3} \)

BD=x\( \sqrt{3} \)

BH=2x

Jetzt könnte ich die Steigungswinkel über tan berechnen:

Winkel HBD=30°

Winkel GMB=35,25°

Aber darauf lässt sich, außer ich liege falsch, nicht der Schnittwinkel  berechnen.

Da komme ich also nicht weiter. Es sollen nur trigonometrische Zusammenhänge genutzt werden.

Comments

Es sollen nur trigonometrische Zusammenhänge genutzt werden.

... immer wieder schade, dass durch solche Vorgaben Kreativität und Phantasie behindert werden.

Die Dreiecke \(\triangle MBG\) und \(\triangle BGH\) sind rechtwinklig (rechter Winkel in \(B \) und \(G\)) und haben das gleiche Kathetenverhältnis \(1 \div \sqrt{2} = \sqrt{2} \div 2\) - also sind sie ähnlich! Weiter sind sie um \(90°\) gegeneinander verdreht, also sind auch ihre Hypotenusen \(MG\) und \(BH\) um \(90°\) gegeneinander verdreht - demnach ist \(\phi=90°\)

Answer 1

Hallo

du hast ja auch Pythagoras benutzt, dann darfst du auch den Strahlensatz benutzen und sehen, dass MS=BS=1/3 HS=1/3 GS

dazu kannst du noch die Höhe eintragen  und φ/2 zu bestimmen.

Gruß lul

Comments

sehen, dass MS=BS

Woran siehst du das ?

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Denkst du auch das |GM| = |BH| gilt?

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Hallo

beide nachfragen hab ich mich vertan, nur des 1/3 mit Strahlensatz bleibt richtig. Danke für die Verbesserung.

lul

Answer 2

Mittels analytischer Geometrie

α = arccos( [-1, 1, 1]·[-1, -2, 1] / (|[-1, 1, 1]|·|[-1, -2, 1]|) ) = 90°

Oder mit dem Kosinussatz

|SG| = 2/3·√3·x
|SH| = 2/3·√6·x
|GH| = 2·x

(2*x)^2 = (2/3·√3·x)^2 + (2/3·√6·x)^2 - 2·(2/3·√3·x)·(2/3·√6·x)·cos(α)
4·x^2 = 4·x^2 - 8/3·√2·x^2·COS(α)
8/3·√2·x^2·COS(α) = 0
α = 90°

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Die Strecken HB und MG liegen in der Ebene ABGH, schneiden sich also.
Der Maßstabsfaktor x ändert Winkel nicht, also sei der Einfachheit halber x=1 .

Nur mit Pythagoras nebst Umkehrung und Strahlensatz :
HB = √(2^1 + 1^2 + 1^2) = √6 , MG = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3
HS / SB =  HG / MB = 2/1  ⇒ HS = 2/3·HB = 2/3·√6, analog GS = 2/3·√3
⇒ HS^2 + GS^2 = 4/9·6 + 4/9·3 = 4 = 2^2 = HG^2  ⇒ φ = 90°

Mit Tangens :
Sei N der Mittelpunkt von GH .
tan ∠BHG = BG / GH = √2 / 2 , tan ∠NGM = MN / NG = √2 / 1  =  1 / tan ∠BHG
⇒ ∠BHG + ∠NGM = 90°  ⇒ φ = 90°

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Mit dem Pythagoras ist prinzipiell gut, geht aber nur, wenn man bereits vermutet, dass der Schnittwinkel 90 Grad ist und es einfach nur bestätigt wissen möchte.

Ansonsten würde ich denke ich immer den Kosinussatz nehmen. Eigentlich verwendet man den ja immer, wenn 3 Seiten eines Dreiecks bekannt sind und man den ersten Winkel berechnen möchte.

Answer 3

Hallo,

ich rechne mit dem Skalarprodukt MG•BH.

A sei der Ursprung.

AM =u, AD=v, AE=w

MG=u+v+w

BH=-2u+v+w

MG•BH=-2u²+v²+w²=(-2+1+1)•x²=0

MG und BH stehen senkrecht aufeinander.

:-)

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Das trifft nicht die Vorgaben der Aufgabe, die lauten Es sollen nur trigonometrische Zusammenhänge genutzt werden.
Tipp : Fragestellungen lesen !

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Es sollen nur trigonometrische Zusammenhänge genutzt werden.

Das haben der Coach und du ja bereits gemacht.

Ich sehe meine Antwort auch nur als Ergänzung, weil die Lösung so schön und unkompliziert ist. Außerdem enthält das Skalarprodukt ja auch den Cosinus.

Tipp : Fragestellungen lesen !

Danke für den Tipp. Da hätte ich auch selbst drauf kommen können.

;-)

Answer 4

Ebene \(ABGH\) ins \(x,y\) Koordinatensystem legen.

Länge der Diagonalen von B nach G mit \(x=1\):  \( \sqrt{2} \)

Geradengleichung \(BH\):

\( \frac{x}{2} +\frac{y}{\sqrt{2}}=1\)

\( y=-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot x+\sqrt{2}\)       → \(m_1=-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\)

Geradengleichung \(GM\):

\( \frac{y-0}{x-1}=\frac{\sqrt{2}-0}{2-1}\)

\( \frac{y}{x-1}=\frac{\sqrt{2}}{1}\)

\( y=\sqrt{2} \cdot x-\sqrt{2}\)  →    \(m_2=\sqrt{2}\)

\(m_1 \cdot m_2=-1\)

Somit ist der Winkel \(90°\)