Bestimmen Sie die Definitheit der Matrix

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Definitheit der Matrix

8	4	2
4	2	1
2	1	1/4

Problem/Ansatz:

Ich versteh nicht, wieso die Matrix indefinit ist. Wenn ich die die Untermatrizen betrachte erschließt sich das ja eigentlich relativ schnell. Jedoch hat unser Prof bei einem anderen Beispiel gesagt, dass man auch noch -A bilden muss und wenn diese Matrix dann negativ semi definit ist, folgt, dass A positiv semi definit ist. Mit dieser Methode komme ich aber darauf, dass -A negativ semi definit ist und somit A positiv semi definit sein muss.Gerade bei A₂₃ Wo ist der Unterschied?

Answer 1

Es ist \(\det\begin{pmatrix}-2&-1\\-1&-\frac{1}{4}\end{pmatrix} = -\frac{1}{2} < 0\)

Um Semidefinitheit mit Hauptminoren zu bestimmen genügt es nicht, nur die führenden Hauptminoren zu betrachten.

Comments

Ja genau, aber die Hauptminoren sind ja auch negativ definit bei -A wegen (-1)ⁿ  * det(A_ij ) das heißt ja eigentlich das -A negatic semi definit ist und A somit positiv semi definit

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Die Lösung sagt nämlich indefnit

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Ich bin jetzt etwas verwirrt. Erkläre noch ein mal ganz genau, nach welchem Kriterium du darauf kommst, dass -A negativ semidefinit ist und welche Rechnung du dazu ausgeführt hast. Und was bedeutet A₂₃ bei dir?

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A₁₂  ist von der Matrix A nur Spalte/Zeile 1 und 2. Ich habe einfach alle Unterdeterminanten und die Gesamtdeterminanten berechnet. Mach ich das für Matrix A komme ich auf positive, negative und nullwertige Determinanten. Dann müsste A ja indefinit sein. Unser Prof meinte aber, dass man jetzt auch noch alle Unterdeterminanten von -A prüfen muss. Da komme ich nur auf negative und nullwertige Determinanten.
Ergo ist -A negativ semi definit und nach einem Satz aus unserer Vorlesung positiv semi definit. Das stimmt in diesem Fall aber schienbar nicht

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Unser Prof meinte aber, dass man jetzt auch noch alle Unterdeterminanten von -A prüfen muss.

Das stimmt nicht. Es genügt wenn man mit einem hinreichenden Kriterium bestimmt.

Da komme ich nur auf negative und nullwertige Determinanten. Ergo ist -A negativ semi definit

Es gibt kein Kriterium, dass dir diese Schlussfolgerung erlaubt.

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Das wurde bei uns in der Vorlesung so eingeführt und auch an einem anderen Beispiel so belegt

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Das ist eine Schlussfolgerung aus dem Satz der Quadratischen Form für symmetrische Matrizen

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Wie lautet der Satz der Quadratischen Form für symmetrische Matrizen? Zeig auch mal den Beweis der Schlussfolgerung.

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. positiv definit (Schreibweise: A > 0), falls
QA(x) = x´ Ax >0

Analog für alle anderen Arten der Definitheit

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Was ist QA(x)?

Außerdem fehlt der Beweis.

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Wir gehen zunächst wie bei Matrix C vor. Es gilt
det(A1) = det(8) = 8,
det(A1,2) = 0
An dieser Stelle können wir bereits feststellen, dass die Matrix C weder positiv definit noch negativ definit
sein kann. Um positive (bzw. negative) Semidefinitheit anhand des Kriteriums von Folie 52 des Foliensatzes
„Eigenwerte und Eigenräume“ zu überprüfen, müssen wir also die Determinanten aller Untermatrizen
berechnen. Um uns Arbeit zu sparen, brechen wir ab, sobald wir eine Schlussfolgerung ziehen können. Es gilt:
det(A2) = 2 > 0,
det(A3) = 0,25> 0,

det(A2,3) = -0,5 < 0.
Da det(−A2,3) = det(A2,3) = -0,5 < 0 gilt, kann A also weder positiv noch negativ Semidefinit sein.
Insgesamt ist A also indefinit.

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QA(x) ist die quadratische form die du erhältst aus x´Ax für symmetrische Matrizen

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QA(x) ist die quadratische form die du erhältst aus x´Ax für symmetrische Matrizen

Das sieht mir eher nach einer Definition aus als nach einem Satz.

Wir gehen zunächst wie bei Matrix C vor. Es gilt

Das ist ein Beispiel. Gefragt habe ich nach dem Beweis des Satzes "Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen Matrix negativ oder null sind, dann ist die Matrix negativ semidefinit". Diesen Satz scheinst du nämlich bei "Da komme ich nur auf negative und nullwertige Determinanten. Ergo ist -A negativ semi definit" angewendet zu haben.

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Also ja sorry, dass ist eine definition und dieser "Satz" eine schlussfolgerung für die wir keinen beweis haben.

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OK, fassen wir das alles noch ein mal zusammen:

• Laut den Eigenwerten ist A indefinit.
• Laut einer von dir angewendeten mir bekannten Methode ist A indefinit.
• Laut einer anderen von dir angewendeten mir unbekannten Methode ist A positiv semidefinit. Für die Richtigkeit dieser Methode kannst du keinen Beweis vorbringen.
  

Es sind jetzt zwei Szenarien möglich.

1. Die zweite Methode ist richtig. Dann haben wir soeben einen Widerspruch im Fundament der Mathematik entdeckt.
2. Die zweite Methode ist nicht richtig. Das scheint mir angesichts der Tatsache, dass du für die Richtigkeit der zweiten Methode keinen Beweis vorbringen kannst, wahrscheinlicher.
   

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Dann sag mir welche Definitheit diese Matrix besitzt

-1	1	0
1	-2	1
0	1	-3

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Die führenden Hauptminoren sind -1, 1 und -2. Also ist die Matrix negativ definit.

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Ich glaube, ich habe leider doch keine Unschlüssigkeit im Grundgerüst der Mathematik entdeckt. Schade eigentlich! Habe fetsgestellt, dass die Matrix A2,3 und
-A2,3 jeweils eine negative Determinante haben und das ja ein Wiederspruch darstellen muss, eine negartive Determinante und semi positive Definitheit passen ja nicht zusammen. Wie hättest du gezeigt, dass die Matrix A indefinit ist ohne dir so den Kopf zu verdrehen?
Danke für deine Hilfe!

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Aber nochmal zum Spaß: Welche Definitheit würdest du der Matrix -A zuschreiben (die Matrix aus meiner ersten Frage sei A)

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Die Matrix A hat sowohl positive als auch negative Eigenwerte.

Die Eigenwerte von -A sind die Gegenzahlen der Eigenwerte von A. Also hat auch -A sowohl positive als auch negative Eigenwerte.

Also ist -A indefinit.

Answer 2

Hm,

was hälst Du davon die Eigenwerte zu bestimmen?

is auch net viel mehr arbeit als sich durch den Determinantenwust zu arbeiten

\(EW \, :=  \, \left\{ \frac{-\sqrt{1841} + 41}{8}, 0, \frac{\sqrt{1841} + 41}{8} \right\} \)

==> {-0.2383594882312, 0, 10.48835948823}

==> indefint