Aufgabe:
Beurteilen Sie, ob die folgenden Behauptungen stimmen. Begründen Sie Ihre Beurteilungen (durch einen Beweis oder durch ein Gegenbeispiel)
Aufgabe 1) Für alle Zahlen a und b gilt: a ≡ b (mod a - b).
Problem/Ansatz:
Ich würde sagen, dass die Aussage richtig ist, weil wenn bspw. a=1;b=3, dann ist mod negativ -2 => und rechnet man so, dass 0<=r<m ist, dann kommt bei beiden der gleiche Rest raus (-1, weil bspw. 1/(-2)=(-0,5), dann (-0,5)+1 (1für mein q), und dann 0,5 *(-2)), ich tue mir dann schwer bei beiden den Rest (-1) bei a (1) =q (1) * m (-2) + r (-1) einzusetzen, es kommt mir vor, ich muss den Rest positiv machen - verstehe ich nicht ganz. Wiederum wenn a=3;b=1, dann ist mod positiv und a kongruent zu b. Wie kann ich das für alle Zahlen richtig darstellen? Die Lösung sagt, die Aussage ist richtig.
Aufgabe 2) Für n, m e N gilt: Wenn 3 ein Teiler von n^2 + m^2 ist, dann folgt daraus, dass 3 weder n noch m teilt.
Problem/Ansatz:
Für dieses Bsp. habe ich einen Link gefunden, und mir erscheint die Letzte Antwort richtig, aber ich könnte es trotzdem selber nicht beweisen. Die Lösung sagt, dass die Aussage falsch ist. Bitte um Hilfe wie ich da vorgehe.
Aufgabe 3) Wenn a^2 kongurent b^2 (mod m) gilt, dann gilt auch a kongurent b (mod m).
Problem/Ansatz:
Annahme: Für m=3;a=2;b=1 haben wir a^2=4 ≡ 1 mod 3
Und für b^2=1 ≡ 1 mod 3
Aber a ≡ b mod 3 sprich 2 ≡ 1 mod 3 ist nicht kongruent, also ist a !≡ b mod 3
Wenn ich aber m=2;a=1;b=3 einsetze, haben wir a^2=1 ≡ 1 mod 2 = 1 Rest
Und für b^2=9 mod 2 => 1 Rest
Und a ≡ b mod 2 sprich 1 ≡ 3 mod 2 ist kongruent, also ist a ≡ b mod 2
Ist die Aussage nun falsch, weil die erste Annahme die anderen nicht zulässt, oder?
HIER habe ich dasselbe Bsp. gefunden, verstehe aber deren Ansatz nicht mit (a-b) usw.
Die Lösung sagt, dass die Aussage falsch ist.
Aufgabe 4) Ist die folgende Aussagen wahr oder falsch? Geben Sie ein Gegenbeispiel
an oder begründen Sie die Aussage formal!
Angenommen x ist eine Lösung einer Gleichung der Form
x ≡ b (mod m).
Dann ist x auch eine Lösung der Gleichung
kx ≡ kb (mod km)
für ein beliebiges k?
Problem/Ansatz:
4 ≡ 1 (mod 3)|*2
8 ≡ 2 (mod 6)
Aussage ist richtig, da Kongruenzgleichungen mit einem Faktor k multipliziert werden können.
k kann deswegen beliebig sein.
Passt das so? Oder wie kann man das besser darstellen? Ich weiß nicht ob es stimmt, oder noch was zu ergänzen ist.
