Allgemeiner Beweis zum Rechnen mit Kongruenzen

Question

Ich brauche den allgemeinen Beweis für folgende Regel zum Rechnen mit Kongruenzen:

a1 kongruent a2 mod m     und     b1 kongruent b2 mod m

daraus folgt:

a1b1 kongruent a2b2 mod m

Wer kann helfen?

Answer 1

$$a_1 \equiv a_2 \mod m, b_1 \equiv b_2 \mod m \Rightarrow m \mid a_1-a_2, m \mid b_1-b_2 \\ \Rightarrow m \mid (a_1-a_2)b_1+(b_1-b_2)a_2 \Rightarrow m \mid a_1b_1-a_2b_2 \\ \Rightarrow a_1b_1-a_2b_2 \equiv 0 \mod m \Rightarrow a_1b_1 \equiv a_2b_2 \mod m$$