Kongruenzen - Regel beweisen

Question

Aufgabe:

Beweise folgenden Satz: a ≡ b (mod m) => aⁿ  ≡ bⁿ (mod m)

Problem/Ansatz:

Ich habe folgenden Ansatz:

a ≡ b (mod m) ⇔ m Ι (a-b) 

Wie komme ich nun zu den Exponenten n ?

Answer 1

Für a^n ≡ b^n (mod m) musst du ja zeigen

m Ι (a^n-b^n)

Verwende die Zerlegung a^n - b^n = (a-b) * (a^(n-1) + a^(n-2)*b+...+b^(n-1) )

Und das ist durch m teilbar weil der 1.Faktor durch m teilbar ist.

Answer 2

a ≡ b (mod m) bedeutet: Es gibt eine natürliche Zahl k, sodass a-b=k·m.

Multipliziere beide Seiten der Gleichung a-b=k·m mit der natürlichen Zahl x=a^n-1+a^n-2b+a^n-3b²+...+b^n-1.

Du erhältst a²-b²=k·x·m

Also: Es gibt eine natürliche Zahl k·x, sodass a²≡b² (mod m).