Beweis, dass für jedes ganzzahlige a die Kongruenzen gelten

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass fur jede Zahl \( a \in \mathbb{Z} \) gilt: \( \left(a^{2} \equiv 0 \text { mod } 4\right) \vee\left(a^{2} \equiv 1 \text { mod } 4\right) \)

Problem/Ansatz:

ich habe mich an diese Aufgabe herangetastet indem ich zuerst die Lösungsmengen der beiden Kongruenzen bestimmt habe:

 a² ≡ 0 mod 4,     also 4 I a²

L= {...0, 4, 8, 12, 16, 20...}

a² ≡ 1 mod 4,    also 4 I a² -1
L= {...1, 5, 9, 13, 17, 21...}

Ich weiß jetzt, dass keine Lösungsmenge doppelt vorkommt, welche Erkenntnis ziehe ich denn jetzt daraus?

Answer 1

bei dir fehlen doch ein paar Zahlen z.B a=2 oder a=3

besser : unterscheide in gerade und ungerade a.

a gerade: a = 2k

a^2=(2k)^2 =4k^2 ist sicher durch 4 teilbar.

a ungerade: a=2k+1

a^2=(2k+1)^2 =4k^2 +4k +1

=4(k^2+k)+1

Der erste Summand ist durch 4 ohne Rest teilbar, das +1 sorgt dann für Rest 1.

Comments

So, ich habe die Lösungsmengen angepasst für a gerade und ungerade:

a2 ≡ 0 mod 4,    also 4 I a2

L= {...0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...}

a2 ≡ 1 mod 4,    also 4 I a2 -1
L= {...1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21...}

Also sieht man, dass für jede Zahl a eine der Kongruenzen gilt.

Ist das dann schon Beweis genug?

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Vermutlich nicht, da du es nur an einigen Beispielen nachgerechnet hast. Du musst schon begründen, warum es für deine Beispiele gilt und vor allem allem warum es auch für alle anderen Zahlen ... gilt.