Aufgabe:
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1. Im Jahr 2023 erbt Familie Duck 350000 Euro. Sie überlegt, mit diesem Geld eine Wohnung zu kaufen und diese für 12000 Euro Nettokaltmiete pro Jahr zu vermieten. Wir möchten den Nettogegenwartswert (Barwert) der Summe der Mietzahlungen bezogen auf 2023 berechnen. Wir nehmen einen Kalkulationszins von \( 3 \% \) pro Jahr an. Wir setzen \( s_{0}=12000 \) Euro. Der Barwert der Mietzahlungen in 2023 und 2024 berechnet sich entsprechend als \( s_{1}=12000+1.03^{-1} 12000 \).
a) Berechnen Sie den Barwert \( s_{2} \) für die Mietzahlungen der Jahre 2023, 2024 und 2025 (bezogen auf 2023).
b) Stellen Sie eine Folgenvorschrift \( s_{n}, n \geq 0 \) auf, die jeweils den Barwert der Summe der bis \( 2023+n \) eingenommenen Miete angibt.
c) Nach wievielen Jahren \( n \) hat sich die Investition auf jeden Fall gelohnt, d.h. ist der Barwert aller Mietzahlungen bis \( 2023+n \) höher als 350000 Euro?
d) Berechnen Sie den Grenzwert \( n \rightarrow \infty \) der Folge \( s_{n} \).
e) Familie Duck überlegt, die Miete jährlich um 1\% zu erhöhen. Überlegen Sie, ob sich die Anzahl Jahre \( n \) in Teilaufgabe c) in diesem Szenario erhöhen oder verkleinern würde. Begründen Sie kurz Ihre Entscheidung.
Hinweis: Denken Sie an die geometrische Summe bzw. die geometrische Reihe.
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Lösung:
a) \( s_{0}=12000, s_{1}=s_{0}+12000 \cdot 1.03^{-1}=23.650,49, s_{2}=s_{1}+12000 \cdot 1.03^{-2}=34.961,64 \).
b) Entweder rekursiv als \( s_{n}=s_{n-1}+12000 \cdot 1.03^{-n} \) oder als geometrische Summe \( s_{n}=12000 \sum \limits_{k=0}^{n} 1.03^{-k}= \) \( \underline{412000} \cdot\left(1-\frac{1}{1.03^{n+1}}\right) \)
c)
\( \begin{aligned} 350000 & =\underline{412000} \cdot\left(1-\frac{1}{1.03^{n+1}}\right) \\ \frac{175}{206} & =1-\frac{1}{1.03^{n+1}} \\ \frac{31}{206} & =\frac{1}{1.03^{n+1}} \\ \log _{\frac{1}{1.03}}\left(\frac{31}{206}\right) & =n+1 \\ 64.07 & \approx n+1 \\ 63.07 & \approx n \end{aligned} \)
Also nach 64 Jahren.
d) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} 412000 \cdot\left(1-\frac{1}{1.03^{n+1}}\right)=412000 \) Euro
e) verkleinern, denn in der geometrischen Summe taucht dann anstelle von \( \frac{1}{1.03} \) die Basis \( \frac{1.01}{1.03} \) auf, die deutlich größer ist, so dass die Summe schneller ansteigt. Man kann auch praktisch argumentieren, dass der Barwert der Mietzahlungen sich vergrößert, weil die Abzinsung durch die jährliche Steigerung der Mieten abgeschwächt wird.
Hallo Mathelounge,
ich scheitere momentan selbst mit Lösung zu verstehen wie die Geometrische Summe sn umgeformt wird zu
412000⋅(1− 1/1,03n+1 )
Ich glaube wenn ich verstehe wie man hier auf die 412000⋅(1− 1/1,03n+1 )kommt dann würde ich die Aufgabe nachvollziehen können.
Ich bedanke mich für jede hilfe.
~Fou
