Grenzwert auf 20 Stellen nach dem Dezimalpunkt bestimmen

Question

Mir liegt folgende Aufgabe vor:

Fassen Sie den Bruch als Grenzwert eine geometrischen Reihe auf. Bestimmen Sie diesen Grenzwert nun auf 20 Stellen nach dem Dezimalpunkt: $$ \frac { 1 }{ 0.997 } $$ 

Ich bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe. Der Ansatz erschliesst sich mir nicht.

Answer 1

Tipp:

$$ \frac{1}{0,997} = \frac{1}{1-q} = \sum_{k=0}^{\infty} q^k  $$

Bestimme q die ersten 20 dezimalstellen zu berechnen sollte dann kein Problem mehr sein.

Gruß

Comments

Yeah, mein Held mit einem rettenden Tipp. (:

Diese Formel mit q ist ja dann passend, wenn wir über eine unendliche geometrische Folge sprechen. Woran erkennst Du bitte, dass die betrachtete Folge unendlich ist?

q wäre anhand meine Berechnung 0.003. Doch jetzt stellt sich mir die Frage, was ich als Anfangsglied nehme. Ich sehe, dass Du als explizite Beschreibung der Folge q^k definiert hast. Das ist folglich eine Formel abhängig von q. Wenn ich verschiedene k's einsetze, erhalte ich die Dezimalstellen. Doch wie kommst Du bitte auf diese explizite Form? Siehst Du das einfach aufgrund Deiner Erfahrung? Ist total schlüssig, doch selber darauf kommen... :/

P.S.: Ich hätte Deine Antwort bei der anderen Aufgabe gerne als Beste ausgezeichnet, jedoch war der Button nicht mehr da. :/ Scheinbar geht das als Gast nur eine kurze Zeit nach der Erstellung.

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kein Problem.
In der Aufgabenstellung wird ja schon auf die geometrische Reihe hingewiesen. Wenn man öfters mit dieser gearbeitet hat kann man den Zusammenhang auch erkennen.
Man kann auch schauen wie schnell die Reihe sich dem Grenzwert nähert indem man die Summenformel der geometrischen Reihe verwendet.
$$ \sum_{k=0}^nq^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$
Das bedeutet insbesondere, dass
$$ \sum_{k=0}^{\infty} q^k - \sum_{k=0}^n q^k = \frac{q^{n+1}}{1-q} $$
Wenn man jetzt wissen möchte, bis zu welchem Glied n die Reihe den Grenzwert bis auf 20 Dezimalstellen genau annähert, bedeutet dies durch:
$$ (0,003)^{n+1} = 0,997 \cdot 10^{-20} $$
, dass ab \( n = 7 \) bereits der Grenzwert auf 20 Dezimalstellen genau berechnet wird.

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Aha aha, ich verstehe. Gut, dass lass' ich mir nochmals durch den Kopf gehen, herzlichen dank für Deine Antwort!

Gruss