Zeigen Sie, dass dann \phi^{3} den Eigenwert 1 hat.

Question

Aufgabe . Sei \( V \) ein endlichdimensionaler \( \mathbb{R} \)-Vektorraum, und sei \( \phi: V \rightarrow V \) ein Endomorphismus. Weiter habe \( \phi^{2}+\phi \) den Eigenwert \( \lambda=-1 \). Zeigen Sie, dass dann \( \phi^{3} \) den Eigenwert 1 hat.

Answer 1

Hallo :-)

Sei \(v\in \R^n\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(-1\) von \(\phi^2+\phi\). Dann gilt:

$$ \phi^2(v)+\phi(v)=\left(\phi^2+\phi\right)(v)=(-1)\cdot v=-v\quad (*)\\[10pt]\Rightarrow -\phi(v)=\phi(-v)\stackrel{(*)}{=}\phi\left(\left(\phi^2+\phi\right)(v)\right)=\phi^3(v)+\phi^2(v)\\[10pt]\Rightarrow 0=\phi^3(v)+\phi^2(v)+\phi(v)\stackrel{(*)}{=}\phi^3(v)-v\\[10pt]\Rightarrow \phi^3(v)=v=1\cdot v, $$

sodass \(1\) Eigenwert von \(\phi^3\) mit Eigenvektor \(v\) ist.