Zeigen Sie, dass dann \phi^{3} den Eigenwert 1 hat.

Question 1

Aufgabe . Sei $ V $ ein endlichdimensionaler $ \mathbb{R} $-Vektorraum, und sei $ \phi: V \rightarrow V $ ein Endomorphismus. Weiter habe $ \phi^{2}+\phi $ den Eigenwert $ \lambda=-1 $. Zeigen Sie, dass dann $ \phi^{3} $ den Eigenwert 1 hat.

Question 2

Hallo :-)

Sei $v\in \R^n$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1$ von $\phi^2+\phi$. Dann gilt:

$$ \phi^2(v)+\phi(v)=\left(\phi^2+\phi\right)(v)=(-1)\cdot v=-v\quad (*)\\[10pt]\Rightarrow -\phi(v)=\phi(-v)\stackrel{(*)}{=}\phi\left(\left(\phi^2+\phi\right)(v)\right)=\phi^3(v)+\phi^2(v)\\[10pt]\Rightarrow 0=\phi^3(v)+\phi^2(v)+\phi(v)\stackrel{(*)}{=}\phi^3(v)-v\\[10pt]\Rightarrow \phi^3(v)=v=1\cdot v, $$

sodass $1$ Eigenwert von $\phi^3$ mit Eigenvektor $v$ ist.

hallo97 · Answer 1 · 2023-10-22T23:27:56+0000

Hallo :-)

Sei $v\in \R^n$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1$ von $\phi^2+\phi$. Dann gilt:

$$ \phi^2(v)+\phi(v)=\left(\phi^2+\phi\right)(v)=(-1)\cdot v=-v\quad (*)\\[10pt]\Rightarrow -\phi(v)=\phi(-v)\stackrel{(*)}{=}\phi\left(\left(\phi^2+\phi\right)(v)\right)=\phi^3(v)+\phi^2(v)\\[10pt]\Rightarrow 0=\phi^3(v)+\phi^2(v)+\phi(v)\stackrel{(*)}{=}\phi^3(v)-v\\[10pt]\Rightarrow \phi^3(v)=v=1\cdot v, $$

sodass $1$ Eigenwert von $\phi^3$ mit Eigenvektor $v$ ist.

Zeigen Sie, dass dann \phi^{3} den Eigenwert 1 hat.

1 Antwort

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