Aufgabe:
Folgern sie, dass \( x \in C \) genau dann gilt, wenn \( x \) eine triadische Darstellung hat mit \( x_{j} \in\{0,2\} \) für alle \( j \in \mathbb{N} \).
Problem/Ansatz:
Ich bin mir überhaupt nicht sicher, was bei dieser Aufgabe genau zu zeigen ist, hätte mir aber mal folgendes Überlegt:
Bei \( C \) handelt es sich in diesem Fall um die cantor-Menge.
\( \mathrm{Kn}, \mathrm{j} \) stet für die Intervalle \( K_{n, j}=\left[\alpha_{n, j}, \alpha_{n, j}+3^{-n-1}\right], j=1, \ldots, 2^{n+1} \).
\( A_{0} \) ist außerdem folgendermaßen definiert \( A_{0}:=[0,1] \)
Man zeigt: \( x \in \bigcup_{j=1}^{z^{n+1}} K_{n, j} \) genau dann, wenn \( x \) eine triadische Entwicklung \( x=\sum \limits_{k=1}^{\infty} x_{k} 3^{-k} \) besitzt, für die \( x_{k} \in\{0,2\} \) für alle \( k=1, \cdots, n+1 \) gilt. Denn \( \mathrm{x} \in \bigcup_{j=1}^{z^{n+1}} K_{n, j} \) genau dann, wenn für den linken Eckpunkt \( \alpha \) eines der \( K_{n, j}\left(j=1, \ldots, 2^{n+1}\right) \) gilt \( a \leqslant x \leqslant a+3^{-n-1} \)
mit \( \alpha=\sum \limits_{k=1}^{n+1} \alpha_{k} 3^{-k} \) und \( \alpha_{1} \ldots \ldots, \alpha_{n+1} \in\{0,2\} \).
Behauptung: \( a \leqslant \mathrm{x} \leqslant \alpha+3^{-1-1} \) genau dann, wenn \( \alpha_{k}=x_{k} \) für \( k=1, \cdots, \mathrm{n}+1 \). Ist \( x=a+3^{-n-1} \), so ist \( x=\sum \limits_{k=1}^{n+1} \alpha_{k} 3^{-k}+\sum \limits_{k=n+2}^{\infty} 2 \cdot 3^{-k} \) und die Behauptung ist richtig.
Ist \( \alpha \leqslant x<\alpha+3^{-n-1} \), muss in jeder triadischen Entwicklung \( \left.x=\sum \limits_{k=1}^{\infty} x_{k}\right\}^{-k} \) mit \( x_{k} \in\{0,1,2\}, \mathrm{k} \in \mathbb{N} \), gelten, dass \( \alpha_{k}=x_{k} \quad \) für \( \mathrm{k}=1, \cdots \), \( \mathrm{n}+1 \) (Koeffizientenvergleich).
Damit folgt sofort: Das Cantorsche Diskontinuum enthalt genau diejenigen \( x \in[0,1] \), die eine triadische Entwicklung besitzen in der die \( z i f f e r ~ 1 \) nicht vorkommt.
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Kann ich die gegebene Aufgabe so zeigen?
In weitere Folge soll ich dann auch noch zeigen:
Sei \( x \in[0,1] \). Schließen Sie, dass \( x \in A_{k} \) genau dann gilt, wenn \( x \) eine triadische Darstellung hat mit \( x_{j} \in\{0,2\} \) für alle \( j=1, \cdots, k \). - wie konnte ich das anschaulich zeigen?
\( A_{k} \) ist hierbei folgendermaßen definiert:
\( A_{k}:=\frac{1}{3} A_{k-1} \cup \frac{1}{3}\left(A_{k-1}+2\right) \quad \) far \( k \in \mathbb{N} \).
