Folgern Sie, dass das Dreieck ABC genau dann einen rechten Winkel bei C hat, wenn C auf dem verallgemeinerten

Question

Sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum mit Skalarprodukt \( \langle\cdot, \cdot\rangle . \) Seien \( A, B \in V \) zwei verschiedene Punkte. Sei \( M=\frac{1}{2}(A+B) \) der Mittelpunkt und \( r=\frac{1}{2}\|B-A\| . \) Zeigen Sie, dass für \( C \in V \) gilt:
$$ \|C-M\|^{2}=r^{2}+\langle C-A, C-B\rangle $$
Folgern Sie, dass das Dreieck \( A B C \) genau dann einen rechten Winkel bei \( C \) hat, wenn \( C \) auf dem verallgemeinerten Thaleskreis liegt, d.h. wenn \( \|C-M\|=r \) gilt.

Answer 1

Rechnen einfach nach unter Verwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes

||C-M||^2

= <C-M,C-M>

=<C-0,5A-0,5B,C-0,5A-0,5B>

=<C-A+0,5A-0,5B,C-B+0,5B-0,5A>

=<(C-A)+0,5(A-B) , (C-B)+0,5(B-A) >

=<C-A , C-B > + < C-A , 0,5(B-A) > + < 0,5(A-B) , C-B> +<0,5(A-B),0,5(B-A)>

=<C-A , C-B > + 0,5*(< C-A , B-A > + < A-B , C-B>) +0,25<A-B , B-A >

=<C-A , C-B > + 0,5*(< C-A , B-A > - < B-A , C-B>) -0,25<B-A,B-A>

etc. müsste auf

=<C-A , C-B > + 0,5*(< B-A,C-A > - < B-A , C-B>) -0,25<B-A,B-A>

=<C-A , C-B >  + 0,25<B-A,B-A>

= <C-A , C-B >  + r^2 herauslaufen.

=<C-A , C-B > + 0,5*(< B-A,-A+B >) -0,25<B-A,B-A>