0 Daumen
256 Aufrufe

Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x, y)=5 x^{2}-3 y^{2} \).


d) Man gebe eine Parameterdarstellung der Höhenlinie von \( f \) an, die durch den Punkt \( (3,-4) \) läuft.


e) Man berechne den Winkel \( \alpha \) zwischen grad \( f(3,-4) \) und der Tangentialrichtung der Höhenlinie von \( f \) im Punkt \( (3,-4) \).


Problem:

Leider weiß ich nicht weiter, könnte mir jemand helfen?

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

zu a) Der Punkt \((3|-4)\) befindet sich auf der Höhe \(f(3;-4)=-3\).

Daher gilt für alle Punkte auf derselben Höhe:$$-3\stackrel!=f(x;y)=5x^2-3y^2\implies y^2=\frac53x^2+1$$Wenn wir nun die Wurzel ziehen, stellen wir fest, dass es zwei getrennte Höhenlinien auf der Höhe \((-3)\) gibt. Die eine verläuft oberhalb der x-Achse, die andere unterhalb:$$y=\pm\sqrt{\frac53x^2+1}$$

~plot~ sqrt(5/3*x^2+1) ; -sqrt(5/3*x^2+1) ; {3|-4} ; [[-8|8|-5|5]] ~plot~

Da wir die Höhenlinie betrachten sollen, die durch den Punkt \((3|-4)\) verläuft, ist die untere Kurve gemeint. Daher lautet die Gleichung für unsere Höhenlinie:$$y(x)=-\sqrt{\frac53x^2+1}$$Eine mögliche Parameterdarstellung dieser Kurve ist:$$\vec r(x)=\binom{x}{y(x)}=\binom{x}{-\sqrt{\frac53x^2+1}}\quad;\quad x\in\mathbb R$$

zu b) Diese Frage ist eine Verständnisfrage. Der Gradient zeigt immer in Richtung des stärksten Anstiegs des Funktionswertes. Der Tangentialvektor der Höhenlinie zeigt in die Richtung, in der sich der Funktionswert nicht ändert. Also stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Das kann man natürlich aus ausrechnen:$$\text{Gradient:}\quad\operatorname{grad}f(3;-4)=\binom{10x}{-6y}_{(x;y)=(3;-4)}=\binom{30}{24}$$$$\text{Tangentialvektor:}\quad\frac{d\vec r(3)}{dx}=\begin{pmatrix}1\\[1ex]-\frac{\frac{10}{3}x}{2\sqrt{\frac53x^2+1}}\end{pmatrix}_{x=3}=\binom{1}{-\frac54}$$Das liefert für den gesuchten Winkel$$\cos\alpha=\frac{\binom{30}{24}\cdot\binom{1}{-\frac54}}{\left\|\binom{30}{24}\right\|\cdot\left\|\binom{1}{-\frac54}\right\|}=0\quad\implies\quad\alpha=90^\circ$$

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Da f(3;-4)=45-48=-3 gilt,

musst du alle Paare (x|y) finden, für die auch \( 5 x^{2}-3 y^{2}=-3 \) gilt.

Avatar von 55 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community