Aloha :)
zu a) Der Punkt \((3|-4)\) befindet sich auf der Höhe \(f(3;-4)=-3\).
Daher gilt für alle Punkte auf derselben Höhe:$$-3\stackrel!=f(x;y)=5x^2-3y^2\implies y^2=\frac53x^2+1$$Wenn wir nun die Wurzel ziehen, stellen wir fest, dass es zwei getrennte Höhenlinien auf der Höhe \((-3)\) gibt. Die eine verläuft oberhalb der x-Achse, die andere unterhalb:$$y=\pm\sqrt{\frac53x^2+1}$$
~plot~ sqrt(5/3*x^2+1) ; -sqrt(5/3*x^2+1) ; {3|-4} ; [[-8|8|-5|5]] ~plot~
Da wir die Höhenlinie betrachten sollen, die durch den Punkt \((3|-4)\) verläuft, ist die untere Kurve gemeint. Daher lautet die Gleichung für unsere Höhenlinie:$$y(x)=-\sqrt{\frac53x^2+1}$$Eine mögliche Parameterdarstellung dieser Kurve ist:$$\vec r(x)=\binom{x}{y(x)}=\binom{x}{-\sqrt{\frac53x^2+1}}\quad;\quad x\in\mathbb R$$
zu b) Diese Frage ist eine Verständnisfrage. Der Gradient zeigt immer in Richtung des stärksten Anstiegs des Funktionswertes. Der Tangentialvektor der Höhenlinie zeigt in die Richtung, in der sich der Funktionswert nicht ändert. Also stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
Das kann man natürlich aus ausrechnen:$$\text{Gradient:}\quad\operatorname{grad}f(3;-4)=\binom{10x}{-6y}_{(x;y)=(3;-4)}=\binom{30}{24}$$$$\text{Tangentialvektor:}\quad\frac{d\vec r(3)}{dx}=\begin{pmatrix}1\\[1ex]-\frac{\frac{10}{3}x}{2\sqrt{\frac53x^2+1}}\end{pmatrix}_{x=3}=\binom{1}{-\frac54}$$Das liefert für den gesuchten Winkel$$\cos\alpha=\frac{\binom{30}{24}\cdot\binom{1}{-\frac54}}{\left\|\binom{30}{24}\right\|\cdot\left\|\binom{1}{-\frac54}\right\|}=0\quad\implies\quad\alpha=90^\circ$$
