Zeichne das mal ein mit Basis x und Höhe h, dann gilt wenn
M der Mittelpunkt des Kreises und P die Mitte der Basis und
A ein Endpunkt der Basis ist:
Dreieck APM rechtwinklig bei P, also mit Pythagoras
(x/2)^2 + (h-4)^2 = 4^2
==> x^2/4 + h^2 - 8h + 16 = 16
==> x^2/4 = 8h-h^2
==> x^2 = 32h - 4h^2 ==> x=√(32h - 4h^2)
Zielfunktion: A(x,h)= 0,5*x*h ==>
A(h) = o,5h*√(32h - 4h^2) = √(8h^3 - h^4) .
Die Wurzel hat den maximalen Wert, wenn der Radikand
den maximalen Wert hat, also betrachte
f(h)=8h^3 - h^4 und f'(h) = 24h^2 -4h^3
f ' (h) = 48h - 12h^2 . Nullstellen von f' sind bei 0 und 4.
4 wohl der sinnvolle Wert für die Maximalstelle. In der
Tat mit f ' '(h)=48 - 24h hast du f ' '(4) <0 , also Max. bei h=4.
Dann ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks ein
Durchmesser des Kreises.