Berechne die Höhe und die Seitenlängen des Dreiecks.

Question

Einem Kreis mit Radius 4 cm soll ein gleichschenkeliges Dreieck mit größtem Flächeninhalt eingeschrieben werden. Berechne die Höhe und die Seitenlängen des Dreiecks.

Answer 1

Zeichne das mal ein mit Basis x und Höhe h, dann gilt wenn

M der Mittelpunkt des Kreises und P die Mitte der Basis und

A ein Endpunkt der Basis ist:

Dreieck  APM rechtwinklig bei P, also mit Pythagoras

(x/2)^2 + (h-4)^2 = 4^2

==>  x^2/4   + h^2 - 8h + 16 = 16

==>  x^2/4 = 8h-h^2

==>  x^2 = 32h - 4h^2    ==>   x=√(32h - 4h^2)

Zielfunktion: A(x,h)= 0,5*x*h ==>

                      A(h) = o,5h*√(32h - 4h^2) = √(8h^3 - h^4) .

Die Wurzel hat den maximalen Wert, wenn der Radikand

den maximalen Wert hat, also betrachte

f(h)=8h^3 - h^4     und f'(h) = 24h^2 -4h^3

f ' (h) = 48h - 12h^2 . Nullstellen von f' sind bei 0 und 4.

4 wohl der sinnvolle Wert für die Maximalstelle. In der

Tat mit f ' '(h)=48 - 24h hast du f ' '(4) <0 , also Max. bei h=4.

Dann ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks ein

Durchmesser des Kreises.

Comments

mathef, vergleiche bitte mal deine Antwort mit anderen.

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  und f'(h) = 24h² -4h³

f ' (h) = 48h - 12h² .

Das letztere ist bereits die zweite Ableitung. Die brauchst du nachher zum Test und nicht jetzt zum Null setzen.

Answer 2

Das Dreieck DCA ist nach Thales rechtwinklig. In diesem Dreieck gilt der Höhensatz:

(g/2)²= h(8-h)

Das ergibt \(g=\sqrt{32h-4h^2}\).

Damit ist dein Flächeninhalt A=0,5*g*h in der Form A(h)=\(0,5\sqrt{32h-4h^2}\cdot h=0,5\sqrt{32h^3-4h^4}\) darstellbar.

Jetzt die übliche Geschichte (ableiten, 0 setzen, lösen, prüfen...)

Alternative:

\( A=\frac{1}{2}\cdot 8cos(\varphi)\cdot 8cos(\varphi) \cdot sin(2\varphi) =64cos^3(\varphi)sin(\varphi)\) in Abhängigkeit von \(\varphi\) maximieren

Comments

Toll illustriert und expliziert. Chapeau!

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Toll illustriert und wahnsinnig kompliziert gerechnet.

Answer 3

Einem Kreis mit Radius 4 cm soll ein gleichschenkeliges Dreieck mit größtem Flächeninhalt eingeschrieben werden. Berechne die Höhe und die Seitenlängen des Dreiecks.

\(A(u)=u\cdot (4+\sqrt{16-u^2})=4u+\sqrt{16u^2-u^4}  \)   soll maximal werden.

\(A´(u)=4+\frac{16u-2u^3}{\sqrt{16u^2-u^4}} \)

\(4+\frac{16u-2u^3}{\sqrt{16u^2-u^4}} =0 \)

\(\frac{16u-2u^3}{\sqrt{16u^2-u^4}} =-4 \)

\(u^3-8u=2\sqrt{16u^2-u^4} \)

Mit Wolfram:

\(u_1=0 \)

\(u_2=2\sqrt{3}c m \)

\(h=6c m \)

\(A=2\sqrt{3}\cdot 6cm^{2} \)

Answer 4

Unter allen gleichschenkligen Dreiecken mit dem gleichen Umkreis ist das gleichseitige Dreieck am flächengrößten. Dies hat die Seitenlänge 4\( \sqrt{3} \).

Oder mit Hilfe der Differentialrechnung:

Zielgleichung: F(a)=(a+4)·b

Nebenbedingung: a²+b²=16

Positive Lösung der Nebenbedingung für b in die Zielgleichung einsetzen und Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen (a=2 oder a=-4).