Operationen mit einer Matrix

Question

Aufgabe:

Es seien a,t > 0 mit a≠t und A =\( \begin{pmatrix} a & 1 \\ at-a^2 & t-a \end{pmatrix} \)

Ergänzen Sie die folgenden Aussagen mit den korrekten Zahlenwerten.

a) Es gilt A^42 = t[...] * A. Hinweis: Berechnen Sie zunächst A² 

b) Das lineare Gleichungssystem (die Matrix oben)* \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} \) ist genau dann lösbar, wenn t = a + [...]

c) Es sei nun a= \( \frac{1}{2} \). Ist das obige LGS lösbar, dann ist die Lösungsmenge L = { \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) ∈ ℝ²  : x = [...] y+ [...] }

d) Mit den Voraussetzungen in c) wird x² + y² für \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) ∈ L minimal, wenn y= [...]

Brauche dringend Hilfe, kann mir jemand die Lösung schicken und gleichzeitig erklären was man machen muss. Die Felder mit [..] muss ich berechnen.

Comments

Du könntest doch mal den Hinweis bearbeiten und A^2 berechnen

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Habe jetzt dafür:

\( \begin{pmatrix} at & t \\ at^2-a^2t & t^2-at \end{pmatrix} \)

ist das richtig? Was nun?

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Vergleiche mit A und schreibe A^2=?*A. Und dann A^3=?*A .....

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Warum steht der Frage: t[...] * A.

Weshalb ist dort ein t, wie soll ich etwas herausfinden?...

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Nach Deiner Rechnung ist doch A^2=t*A, also A^3=...

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A^3= t^2*A? Also kommt für A^42 = t^41*A raus?

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So sehe ich das.

Answer 1

a)

A^2 = [a·t, t; a·t^2 - a^2·t, t^2 - a·t] = t·[a, 1; a·t - a^2, t - a]

A^42 = [a·t^41, t^41; t^41·(a·t - a^2), t^41·(t - a)] = t^41·[a, 1; a·t - a^2, t - a]

b)

[a, 1; a·t - a^2, t - a]·[x; y] = [a·x + y; (a·x + y)·(t - a)] = [3; 9] --> t - a = 3

Nach t auflösen sollte man dann hinbekommen denke ich.

Comments

Dankeschön für die Hilfe