Eigenwerte bestimmen bei 8x8 Matrix?

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in M_{8}(\mathbb{R}) \) die Matrix
\( A=\left(\begin{array}{cccccccc} 2 & 0 & -1 & 4 & -3 & 8 & 1 & 9 \\ 1 & 3 & -1 & 8 & 8 & 7 & -3 & -11 \\ -1 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -3 & 2 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 & 4 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 9 & 4 & 7 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -8 & -2 & 6 & 5 \end{array}\right) \)
\( \text {anderere angegebener Eigenwert}=2 \)
(3 P.) Finden Sie einen weiteren Eigenwert von \( A \), und einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert.

Problem/Ansatz:

Der eine EW von 2 ist angegeben. Meine Frage ist, gibt es eine Möglichkeit die Eigenwerte anderes einfacher zu bestimmen. Mit der determinante des charkt. polynomes dauert es trotz Blockgestallt ewig die Determinate zu bestimmen. und dann ist das Polynom von so hoher Ordnung, dass dass ich die NS nicht bestimmen kann, Tipps? Danke :)

Comments

Aufgrund der Blockgestalt ist das charakteristische Polynom der 3×3-Matrix oben links \(\small\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&3&-1\\-1&3&2\end{pmatrix}\) ein Teiler des charakteristischen Polynoms von \(A\). Damit ist \(\lambda=1\) ein weiterer Eigenwert und \((1,0,1,0,0,0,0,0)^\top\!\in\R^8\) ein zugehöriger Eigenvektor.

Answer 1

Hallo moonpie. Wie findet man einen Eigenwert? Die Formel dafür ist:

\( \lambda \cdot \vec{v}=A \cdot \vec{v} \)

Wie man sieht, ist eine Lösung: v4 = v5 = v6 = v7 = v8 = 0.

Bleibt das LGS:

\( \left(\begin{array}{ccc|c}2-\lambda & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 3-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 2-\lambda & 0\end{array}\right) \)

Comments

Wofür soll v4 = v5 = v6 = v7 = v8 = 0 eine Lösung sein?
Kann man Eigenwerte tatsächlich mittels lösen eines LGS finden?

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Hallo Arsinoe. Zu deiner Frage: „Kann man Eigenwerte tatsächlich mittels lösen eines LGS finden?“. Stimmst du mit mir überein, dass die Frage nach den Eigenwerten heißt, dass

\( \lambda \cdot \vec{v}=A \cdot \vec{v} \)

zu lösen ist? Falls ja: Hast du solche Eigenwert-Probleme schon mal gelöst? Falls nicht, dann nimm dir bitte eine Eigenwert-Aufgabe (2x2 oder 3x3) aus dem Internet und löse sie hier. Dann sehen wir weiter.

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Genaugenommen ist die obige Gleichung nicht nach λ aufzulösen, sondern nach v.

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@romanga Das wird ohne Kenntnis von \(\lambda\) nicht gelingen. Wozu auch? Übrigens, ganz schon fragwürdiger Unterton gegenüber Arsinoe64, der schon lange vorher die Frage per Kommentar prägnant und sinnvoll beantwortet hat und bez. Deiner wenig sinnvollen Antwort einen höflichen Wink gegeben hat. Wende mal Deine Ratschläge ("Falls ja...") selbst an.

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Hallo nudger, hallo Arsinoe, entschuldigt bitte. Ich habe nicht gesehen, dass der Kommentar ganz oben auch von dir, Arsinoe, war, und wusste nicht, wie deine Vorkenntnisse sind und worauf du hinaus wolltest. Ich hatte die Frage als Frage eines Anfängers aufgefasst. Sorry, mein Fehler.

Man möchte ein LGS lösen, um den Vektor v zu finden, und kommt so auf eine Bedingung für lambda. lambda muss so beschaffen sein, dass das LGS mehr Lösungen hat, als nur die triviale.