Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Aufgabe 2) Wir fangen mit der 2-ten Aufgabe an, weil die zum Verstehen besser ist.
Ein Vektor \(\binom{a}{b}\) beschreibt eine gerichtete Strecke im Koordinatensystem. Du startest dabei von deinem aktuellen Punkt im Koordinatensystem und gehst \(a\) Einheiten parallel zur x-Achse und \(b\) Einheiten parallel zur y-Achse. Wenn \(a\) ober \(b\) negativ sind, gehst du die Schritte in die entsprechenden Gegen-Richtungen.
[Normalerweise haben die Koordinaten-Achsen kleine Richtungspfeile, die x-Achse in der Regel rechts und die y-Achse in der Regel oben. Sie geben die Richtung an, in die du bei positivem \(a\) bzw. positivem \(b\) gehen musst.]
Wenn kein Startpunkt angegeben ist, kannst du davon ausgehen, dass der Start im Nullpunkt \((0|0)\) des Koordinatensystems liegt.
zu a) Wir starten am Nullpunkt \((0|0)\) und gehen 1 Einheit entlang der x-Achse und 2 Einheiten entlang der y-Achse, das entspricht dem Vektor \(\binom{1}{2}\). Wir landen dann im Punkt \(A_1(1|2)\). Von diesem neuen Startpunkt aus gehen wir nun 4 Einheiten entlang der x-Achse und eine Einheit entlang de y-Achse, das entspricht dem Vektor \(\binom{4}{1}\). Unser Endpunkt ist dann \(A_2(5|3)\). Die Vektoren werden also wie folgt addiert:$$\binom{1}{2}+\binom{4}{1}=\binom{5}{3}$$
zu b) Wir starten wieder am Nullpunkt \((0|0)\). Der erste Weg führt uns (-2) Einheiten parallel zur x-Achse [minus, weil wir nach links gehen] und 4 Einheiten parallel zur y-Achse. Wir landen im Punkt \(B_1(-2|4)\). Von dort aus gehen wir (-1) Einheit parallel zur x-Achse und (-6) Einheiten parallel zur y-Achse [minus, weil wir nach unten gehen]. Das entspricht dem Vektor \(\binom{-1}{-6}\). Unser Endpunkt ist dann \(B_2(-3|-2)\). Die Vektoren werden wie folgt addiert:$$\binom{-2}{4}+\binom{-1}{-6}=\binom{-3}{-2}$$
zu c) Da du ja nun schon trainiert bist, hier die Kurzform:$$\binom{1}{2}+\binom{4}{1}+\binom{1}{-2}=\binom{6}{1}$$
zu d) Hier haben wir einen geschlossenen Weg, der uns zum Ausgangspunkt zurückführt:$$\binom{1}{-2}+\binom{2}{4}+\binom{-3}{-2}=\binom{0}{0}$$
Wenn du am Nullpunkt startest, entsprechen die Koordinaten des Summen-Vektors den Koordinaten des Endpunktes.
Aufgabe 1) Hier wird das 2-dimensionale Koordinatensystem bestehend aus x-Achse und y-Achse um eine dritte z-Achse erweitert. In unseren Vektoren finden wir dafür eine zusätzliche dritte Komponenten, die uns angibt, wie weit wir parallel zur z-Achse laufen sollen.
Da dir ja nun bereits klar geworden ist, wie man Vektoren bzw. Strecken addiert, sollten die ersten beiden Aufgaben keine Problem sein:$$\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\15\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\20\\11\end{pmatrix}\quad;\quad\binom{2}{25}+\binom{2}{1}=\binom{4}{26}$$
Der Fall (c) ist etwas tricky. Im ersten Vektor hast du nur 2 Komponenten. Dieser Vektor \(\binom{2}{17}\) beschreibt also eine Strecke in der xy-Ebene. Die z-Koordinate ändert sich entlang dieser Stecke nicht, das heißt, wir gehen 0 Einheiten entlang der z-Achse. Wir ergänzen daher die dritte Komponente 0, um die Addition durchführen zu können:$$\binom{2}{17}+\begin{pmatrix}17\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\17\\\pink0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}17\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19\\22\\1\end{pmatrix}$$
Die letzte Addition ist wieder titti:$$\begin{pmatrix}5\\25\\125\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7\\77\\777\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\102\\902\end{pmatrix}$$
