Sind die nachfolgenden Vektoren komplanar?

Question

Aufgabe:

Seien \( \vec{a} \) \( \vec{b} \) \( \vec{c} \) voneinander linear unabhängige Vektoren. Sind die nachfolgenden Vektoren komplanar?

\( \vec{d} \)= 2\( \vec{a} \) - 3\( \vec{b} \) + \( \vec{c} \)

\( \vec{e} \)= 3\( \vec{a} \) - 5\( \vec{b} \) + 2\( \vec{c} \)

\( \vec{f} \)= 4\( \vec{a} \) - 5\( \vec{b} \) + \( \vec{c} \)

Problem/Ansatz:

Die Werte der Vektoren sind leider nicht gegeben, oder muss ich mich auf die Werte vor dem Vektor beziehen um die zu bestimmten?

Comments

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Vertippt.

Answer 1

Untersuche die Gleichung
$$ r\vec d+s\vec e+t\vec f=\vec o$$
Wenn r=s=t=0 die einzige Lösung ist, sind die Vektoren linear unabhängig, liegen also nicht in einer Ebene.

Einsetzen und sortieren liefert

$$ (2r+3s+4t)\vec a+(-3r-5s-5t)\vec b+(1r+2s+1t)\vec c=\vec o$$

Da die Vektoren a, b und c linear unabhängig sind, müssen die Terme in den Klammern gleich Null sein.

2r+3s+4t=0

-3r-5s-5t=0

r+2s+t=0

...

\( r=5 n, ~s=-2 n, ~t=-n, \quad n \in \mathbb{R} \)

Z.B. r=5, s=-2, t=-1.

Da dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, liegen die Vektoren in einer Ebene.

:-)

Answer 2

gibt es r und s, sodass r(2\( \vec{a} \) - 3\( \vec{b} \) + \( \vec{c} \))+s(3\( \vec{a} \) - 5\( \vec{b} \) + 2\( \vec{c} \))=4\( \vec{a} \) - 5\( \vec{b} \) + \( \vec{c} \)? Dann sind \( \vec{d} \), \( \vec{e} \) und \( \vec{f} \) komplanar.

Comments

r und s sind in der Aufgabe nicht gegeben.

Kann ich das trotzdem so berechnen?