Komplanare Vektoren prüfen. Woran erkennt man dann erkennt, dass die Vektoren nicht komplanar sind?

Question

im Mathe Unterricht haben wir zur Berechnung bzw. Untersuchung, ob Vektoren komplanar sind, einen “kurzen” Weg aufgeschrieben:

0= s• Vektor1 + t• Vektor2 + z• Vektor3

Leider haben wir nur ein Beispiel zu diesem kurzen Weg gemacht, sodass, wenn Vektoren komplanar sind, eine Nullzeile rauskommt. Ist das dann immer der Fall?

Meine Frage ist aber eigentlich, woran man dann erkennt, dass die Vektoren nicht komplanar sind. Mit dem normalen Weg lassen sich ja dann nicht alle 3 Gleichungen des Gleichungssystems mit den berechneten Werten für s/t/z lösen. Ich habe vermutet, dass bei dem kürzeren Weg für jede Variable 0 rauskommt, wenn die Vektoren nicht komplanar sind. Ist das richtig?

Answer 1

Hallo

ja, die Vektoren sind nicht komplanar, wenn man das Gleichungssystem nur mit s=t=z=0 lösen kann. und das ist der Fall, wenn keine Nullzeile rauskommt.

Erklärung: wenn eine Nullzeile rauskommt, kann man den Vektor aus den 2 anderen linear kombinieren, er liegt also in derselben Ebene.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank! Jetzt habe ich’s verstanden :)

Answer 2

woran man dann erkennt, dass die Vektoren nicht komplanar sind

Ich nehme mal an, du stellst die Vektoren v1, v2 und v3 nebeneinander in eine 3x3-Matrix M.

1. Weg: Bringe die Matrix M auf Dreiecksform. Falls du in der Diagonalen keine 0 hast, sind die Vektoren nicht komplanar.

2. Weg: Berechne die Determinante von M. Es gilt Det(M) ≠ 0 genau dann, wenn die Vektoren nicht komplanar sind.

3. Weg: Geometrische Überlegung (hinter 1. und 2.) direkt verwenden. Berechne das Spatprodukt der drei Vektoren. Ist es ungleich 0, spannen die 3 Vektoren einen Spat mit Volumen ≠ 0 auf. D.h. sie sind nicht in derselben Ebene, d.h. nicht komplanar.

komplanar bedeutet "in der gleichen Ebene".

Das Wort hat zwei Teile:

"kom" bedeutet soviel wie "zusammen".

"planar"  kennst du vielleicht von "planieren". "planar" bedeutet "flach", "eben".