Benutzen Sie die Beweismethode der vollständigen Induktion, um folgende Aussage zu zeigen

Question

Aufgabe:

a) Benutzen Sie die Beweismethode der vollständigen Induktion, um folgende Aussage zu zeigen:
Fur alle ¨ n ∈ N gilt n + 1 = 1 + n.
b) Benutzen Sie die Beweismethode der vollständigen Induktion, um folgende Aussage zu zeigen:
Fur alle ¨ m, n ∈ N gilt m + n = n + m

Hinweis : Unter der Benutzung dieses Satz:

Satz 2.5. Rechengesetze in N
♡
a) Fur alle ¨ k, m, n ∈ N gilt (k + m) + n = k + (m + n)           (Assoziativitat der Addition ¨ .)
b) Fur alle ¨ m, n ∈ N gilt m + n = n + m                              (Kommutativitat der Addition ¨ .)
c) Fur alle ¨ k, m, n ∈ N gilt (k · m) · n = k · (m · n)              (Assoziativitat der Multiplikation ¨ .)
d) Fur alle ¨ m, n ∈ N gilt m · n = n · m.                               (Kommutativitat der Multiplikation ¨ .)
e) Fur alle ¨ k, m, n ∈ N gilt n · (m + k) = n · m + n · k         (Distributivitat¨ .)

Comments

Der Beweis soll ohne die Benutzung der Regeln aus Satz 2.5. geführt werden.

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aber das war eine Voraussetzung

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Nein. Das ist hier eine Zusammenfassung von Regeln, die vermutlich mit dem Zusatz "Beweis erfolgt in den Übungen" aufgeschrieben worden sind.
Sie können aber als Voraussetzung für den Beweis in deiner anderen Frage dienlich sein.

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Was soll man denn als Voraussetzung(en) wirklich benützen dürfen ?

Darf man zum Beispiel die Gültigkeit der Gleichung  "1 = 1" voraussetzen ?

(und: woher genau stammt die "Beweis-Aufgabe" ?)

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1. Peano
2. Ja

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ist meine Antwort Richtig↧↧↧

Um zu beweisen, dass   m+k<n+k gilt, wenn  m<n und k,m,n∈N,

verwenden wir die Definition von "<" und die in der Aufgabenstellung gegebene Aussage (a):

Nach der Definition von "<" für natürliche Zahlen gilt:

m<n bedeutet, dass es ein l∈N gibt, so dass  n=m+l.

Wir möchten zeigen, dass

m+k<n+k gilt. Verwenden wir die gegebene Aussage (a):

m<n⇒m+k<n+k

Da wir bereits wissen, dass n=m+l, setzen wir dies ein:
m<m+l⇒m+k<(m+l)+k

Nun können wir die Gleichung vereinfachen:

m<m+l⇒m+k<m+(l+k)

Wir können sehen, dass
l+k eine natürliche Zahl ist, da sowohl l als auch k in  N liegen. Daher haben wir gezeigt, dass

m+k<n+k gilt, wenn  m<n und k,m,n∈N, wie in der Aufgabenstellung gefordert.

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Hallo

du willst ja lernen, was sind deine Ansätze ? Wo klemmt es?

lul

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ist meine Antwort Richtig↧↧↧

Ziemlich holprig, aber besser als die von mathef.

Etwas schlanker :
Sei n < m. Zu zeigen ist n+k < m+k für alle k∈ℕ.
n < m ⇔ ex. l∈ℕ mit n+l = m (Def) ⇒ (n+k) + l = n + (k+l) = n + (l+k) = (n+l) + k = m+k unter Verwendung von 3.5.
Nun ist aber aber (n+k) + l = m+k gerade die Behauptung n+k < m+k .

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tut mir leid das war meine Antwort für andere Frage

aber danke schön für die Abkürzung