Potenzen von Zahlen Anwendung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

In der Mathematik arbeitet man oft mit Potenzen von Zahlen, zum Beispiel schreibt man $2^{5}=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. und sagt zwei hoch fünf. Allgemein gilt $a^{b}=\underbrace{a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{b \mathrm{mal}}$.
(i) Gilt auch ein Kommutativ- bzw. Vertauschungsgesetz für Potenzen, d.h. gilt für alle natürlichen Zahlen $a$ und $b$, dass $a^{b}=b^{a}$ ?
(ii) Man kann auch Potenzen von Potenzen betrachten. Also zum Beispiel
$\left(3^{7}\right)^{2} \text { und } 4^{\left(5^{6}\right)}$

Gilt auch ein Assoziativgesetz für Potenzen, d.h. gilt
$\left(a^{b}\right)^{c}=a^{\left(b^{c}\right)}$
für alle natürlichen Zahlen $a, b$ und $c$ ?
Gefragt ist in beiden Fällen nach einer Begründung oder einem Gegenbeispiel.

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bei den Aufgaben helfen?

Würde mich über jede Antwort freuen!!

Answer 1

Gilt auch ein Kommutativ- bzw. Vertauschungsgesetz für Potenzen, d.h. gilt für alle natürlichen Zahlen $a$ und $b$, dass $a^{b}=b^{a}$ ?

2⁵ = 32 aber 5²=25  also nicht.

Gilt auch ein Assoziativgesetz für Potenzen, d.h. gilt

$\left(a^{b}\right)^{c}=a^{\left(b^{c}\right)}$

z.B. nicht bei $\left(2^{3}\right)^{2} =8^2=64 \text { und } 2^{(3^{2})}=2^9=512$