Potenzen von Zahlen Anwendung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

In der Mathematik arbeitet man oft mit Potenzen von Zahlen, zum Beispiel schreibt man \( 2^{5}=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \). und sagt zwei hoch fünf. Allgemein gilt \( a^{b}=\underbrace{a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{b \mathrm{mal}} \).
(i) Gilt auch ein Kommutativ- bzw. Vertauschungsgesetz für Potenzen, d.h. gilt für alle natürlichen Zahlen \( a \) und \( b \), dass \( a^{b}=b^{a} \) ?
(ii) Man kann auch Potenzen von Potenzen betrachten. Also zum Beispiel
\( \left(3^{7}\right)^{2} \text { und } 4^{\left(5^{6}\right)} \)

Gilt auch ein Assoziativgesetz für Potenzen, d.h. gilt
\( \left(a^{b}\right)^{c}=a^{\left(b^{c}\right)} \)
für alle natürlichen Zahlen \( a, b \) und \( c \) ?
Gefragt ist in beiden Fällen nach einer Begründung oder einem Gegenbeispiel.

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bei den Aufgaben helfen?

Würde mich über jede Antwort freuen!!

Answer 1

Gilt auch ein Kommutativ- bzw. Vertauschungsgesetz für Potenzen, d.h. gilt für alle natürlichen Zahlen \( a \) und \( b \), dass \( a^{b}=b^{a} \) ?

2^5 = 32 aber 5^2=25  also nicht.

Gilt auch ein Assoziativgesetz für Potenzen, d.h. gilt

\( \left(a^{b}\right)^{c}=a^{\left(b^{c}\right)} \)

z.B. nicht bei \( \left(2^{3}\right)^{2} =8^2=64 \text { und } 2^{(3^{2})}=2^9=512 \)