Lösung einer DGL korrekt?

Question

Hallo zusammen. Leider gibt es keine Lösungen zu unseren Aufgabenblättern.

Ich mache es mir schwer beim Thema DGL und möchte deshalb mit eurer Hilfe überprüfen, ob mein Ergebnis richtig ist, bzw. Fehler enthält.

Ausgangspunkt:

Lösen Sie die DGL

y‘+cos(x)y = \( \frac{1}{2} \) sin(2x)

Zunächst habe ich nach x und y separiert:

y‘+y= \( \frac{0,5sin(2x)}{cos(x)} \)

Daraus folgt:

y‘+y=sin(x)

Anschließend nach dy umgeschrieben:

dy+y=sin(x)dx

Integral gezogen:

1/2*y^2= -cos(x)+c

Und abschließend nach y umgestellt:

y=\( \sqrt{\frac{-cos(x)+c}{0,5}} \)

Ich wäre Dankbar zu erfahren, ob die Lösung richtig ist, bzw. wo ein Fehler liegt.

Vielen Dank vorab!

Answer 1

Hallo,

Diese DGL kannst Du nicht via Trennung der Variablen berechnen.

Hier liegt der Fehler:

y‘+y= \( \frac{0,5sin(2x)}{cos(x)} \)

Die Division mußt Du durch die gesamte DGL tätigen, aber das bringt Dich nicht weiter.

Die Lösung dieser DGL erfolgt durch " Variation der Konstanten"

Zu mußt zuerst die homogene DGL lösen:

y‘+cos(x)y =0

usw.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Wie kann ich jedoch schnellstmöglich feststellen, ob die DGL separabel sind?

Für mich galt nach umstellen

y‘=f(x)*y+g(x)

wodurch diese separierbar wäre.

Woran erkenne ich dies am besten?

---

Folgende Strukturen:

Separierbare DGL: \( y^{\prime}=f(y) g(x) \)

Variation der Konstanten: \( y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x) \)

Diese DGL y‘+cos(x)y = \( \frac{1}{2} \) sin(2x) hat die Struktur:

\( y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x) \)

-----------------------------------------------

Das ist der Lösungsweg: