Warum haben ODEs der Form a\frac{d²y}{dx²}+b\frac{dy}{dx}+cy=0 immer e^{λx} als Lösung?

Question

Warum wird bei Differentialgleichungen der Form $$a\frac{d²y}{dx²}+b\frac{dy}{dx}+cy= 0$$ immer angenommen, dass die Lösungen folgende Form besitzten? $$e^{λx}$$

Wieso könnte $$ax^n$$ ,oder irgendeine andere Funktion, keine Lösung sein?

Comments

ay'' + by' + cy = 0

y = - 1/c·(ay'' + by')

Das bedeutet doch, dass sich die Funktion als Linearkombination aus erster und zweiter Ableitung darstellen lässt. Warum ist das bei Polynomen nicht möglich?

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Kleiner Tipp: Du kannst Formeln auch ohne Zeilenumbruch formatieren, indem du anstatt

$$ ... $$

\( ... \)

benutzt.

Answer 1

Nicht alle Lösungen besitzen die von dir genannte Form, aber einige.

Die Lösungsmenge ist ein Vektorraum, weil die Menge der differenzierbaren Funktionen ein Vektorraum ist und die Lösungsmenge die Kriterien für einen Untervektorraum erfüllen.

Dimension des Lösungsraums einer homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung ist n.

Mit dem Ansatz y = e ^λx findet man n linear unabhängige Lösungen. Diese müssen also eine Basis des Lösungsraumes sein.

Deshalb kann "irgendeine andere Funktion", die sich nicht als Linearkombination der gefundenen Lösungen darstellen lässt, keine Lösung sein.

Answer 2

hallo

da λ auch komplex sein kann hat man damit wirklich alle Lösungen, warum es kein Polynom sein kann wurde ja schon gesagt, aber mit den komplexen Lösungen  hat man auch deren Linearkombinationen also sin und cos.

wundert es dich dass es keine Funktion gibt ausser e^rx, die die einfache Dgl f'=r*f löst? oder dass nur sin und cos und damit  e^irx die Dgl f''=-r*f lösen. die e- funktion etwa ist durch f'=f , f(0)=1 definiert, sin(x) und cos(x) durch f''=-f

Gruß lul