Hallo, ihr Wissenden!!!
Mein Problem steht im Titel. Ich soll eine Differentialgleichung lösen, bei der auf beiden Seiten dasgleiche steht.
Kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen?
bei der auf beiden Seiten dasgleiche steht.
Tut es nicht.
Aloha :)
Die beiden Seiten der Differentialgleichung sind nicht gleich, denn es gilt:$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}y=y''(x)\quad;\quad\frac{dy^2}{dx^2}=\frac{dy}{dx}\frac{dy}{dx}=\left[y'(x)\right]^2$$Zur Berechnung setzen wir \(z(x):=y'(x)\) und erhalten dann die DGL:
$$\left.z'(x)=z^2(x)\quad\right|\;\text{links Differentiale verwenden}$$$$\left.\frac{dz}{dx}=z^2\quad\right|\;\cdot\frac{dx}{z^2}$$$$\left.\frac{dz}{z^2}=dx\quad\right|\;\text{links und rechts integrieren}$$$$\left.-\frac{1}{z}=x+c_1\quad\right|\;c_1=\text{const.}\quad;\quad\text{Kehrwerte nehmen}$$$$\left.-z=\frac{1}{x+c_1}\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$\left.z=-\frac{1}{x+c_1}\quad\right|\;z=y'(x)\text{ einsetzen}$$$$\left.y'(x)=-\frac{1}{x+c_1}\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.y(x)=-\ln\left|x+c_1\right|+c_2\quad\right|\;c_1,c_2=\text{const}$$Die Integrationskonsten \(c_1,c_2\) können aus den Anfangsbedingungen berechnet werden.
1. Bei deiner Lösung solltest du den Fall z = 0 nicht unterschlagen.
2. Ist es sicher, dass dy^2/dx^2 = (dy/dx)^2 ist ? Könnte nicht eventuell y^2 nach x^2 abgeleitet werden sollen ? Bsp. y = x^2 ⇒ y^2 = (x^2)^2 und d( (x^2)^2 ) / d (x^2) = 2x^2
Ja, es ist sicher, dass \(\frac{dy^2}{dx^2}=\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\) ist. Das ist gängige Konvention. Wollte man \(y^2\) nach \(x^2\) ableiten, würde dort stehen: \(\frac{d(y^2)}{d(x^2)}\).
Das ist gängige Konvention.
War mir nicht bekannt, danke.
Im Skript steht das auch so mit zweiter Ableitung und Quadrat der ersten Ableitung, habe ich dummerweise eben gerade erst gesehen. Jetzt ist alles verständlich.
Danke schön.
Da steht nicht auf beiden Seiten "dasgleiche"
Lies bitte nochmal genau, was Du gepostet hast und wenn das, was Da steht, das ist, was Du fragen möchtest, können wir weitermachen ...
Bitte nutze die Hilfen, die dieses Portal zur Eingabe mathematischer Zeichenfolgen anbietet, um Missverständnisse zu vermeiden.
Hallo pleindespoir!!!
Ich habe das genauso abgeschrieben, wie es auf dem Aufgabenblatt steht.
Zähler Bruch links = dy2
Nenner Bruch links= dx2
Zähler Bruch rechts = d2y
Nenner Bruch rechts = dx2
Spielt es eine Rolle, wo die 2 im Zähler steht?
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos