Lösung einer DGL - Überprüfung des Lösungsweges

Question

Text erkannt:

\( \begin{aligned} & y^{\prime}=\frac{y}{x} \cdot\left(1+\ln \left|\frac{y}{x}\right|\right) \\ \Rightarrow & u=\frac{y}{x} \Rightarrow y=x \cdot u \Rightarrow y^{\prime}=u^{\prime} x+u \\ \Rightarrow & u^{\prime} x+u=u \cdot(1+\ln |u|) \mid: x \\ & u^{\prime}+u=u \cdot(1+\ln |u|) \cdot \frac{1}{x} \mid: v \cdot(1+\ln |u|) \\ & u^{\prime}+u \cdot \frac{1}{u(1+\ln |u|)}=\frac{1}{x} \\ & \frac{d u}{d x}+u \cdot \frac{1}{u(1+\ln |u|)}=\frac{1}{x} \mid \cdot d x \\ & u \cdot \frac{1}{u(1+\ln |u|)} \cdot d u=\frac{1}{x} d x \mid s \\ & \int u \cdot \frac{1}{v(1+\ln |u|)} \cdot d u=\int \frac{1}{x} d x \\ & \ln |1+\ln | u||=\ln |x|+c \mid e \\ & 1+\ln |u|=x \cdot c \mid e \\ & e+u=e^{x \cdot c} \mid e \\ & u=e^{x \cdot c}-e \\ \Rightarrow & y=\left(e^{x c}-e\right) x\end{aligned} \)

Hallo zusammen, Wie vielleicht in den letzten Tagen häufiger bemerkt, bin ich erstmals an dem Thema DGL dran. Leider besitzen wir keine Lösungen zu unseren Aufgabenstellungen. Zur Überprüfung des Ergebnisses bzw. der Aufschlüsselung der Fehler benötige ich eure Hilfe. Anbei die Aufhabe und mein Rechenweg. Stimmt dieser? Durch eure Hilfe konnte ich schon große Fortschritte machen!
Vielen Dank vorab!

Answer 1

Hallo

richtig g ist noch die substitution, aber dann in der 3 ten Zeile teilst du durch x, vergisst aber das U auf der linken Seit, multipliziere erst die Klammer aus, dann hebt sich U auf beiden Seiten weg, dann mach weiter.

In der 6 ten Zeile dann noch mal was gräßliches : mal dx und das wieder nur mit einem der Summanden, da es aber da schon so falsch ist ist das natürlich egal.

Merke: beim Multiplizieren einer Summe oder Differenz werden IMMER beide mit dem Faktor multipliziert: (a+b)*c=ac+by und nicht ac+b

lul

Comments

Danke für die schnelle Antwort! Dumme Fehler.

Dann hoffe ich dadurch die richtige Lösung gefunden zu haben?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\Rightarrow u^{\prime} x+u=u \cdot(1+\ln |u|)=u+v \cdot \ln |u| \\ \Rightarrow u^{\prime} x=u \cdot \ln |u||: x|: u \cdot \ln |v| \\ u^{\prime} \cdot \frac{1}{u \ln |v|}=\frac{1}{x} \\ \frac{d u}{d x} \cdot \frac{1}{u \ln |v|}=\frac{1}{x}|\cdot d x| \int \\ \int \frac{1}{u \ln |u|} d u=\int \frac{1}{x} d x \\ \ln |\ln | u|=\ln | x|+c| e \\ \ln |u|=x+e^{c} \mid e \\ u=e^{x c} \\ \Rightarrow y=e^{x c} \cdot x\end{array} \)

Answer 2

Hallo,

Lösung einer DGL durch Substitution:

u *ln(u)=0 (Nenner des Integrales)

---->

1.) u=0 → y/x= 0 ----->y=0  ->keine Lösung , weil ln(0/x) nicht definiert.

2.) ln(u)=0 → u=e^0 =1 -------->u=y/x ------->y/x= 1 ---------->y=x ist auch eine Lösung der DGL.