Überprüfung des Lösungsweges DGL 1. Ordnung

Question

Hallo zusammen,

anbei habe ich eine DGL gelöst, besitze aber keine Lösung für diese Aufgabe.

Kann jemand diese DGL prüfen bzw. mitteilen wo mein Fehler liegt?

Vielen Dank vorab!

Text erkannt:

\( y^{\prime} \cdot \frac{1}{x} \tan y \Rightarrow y^{\prime}=\frac{1}{x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} \)

Trennung \( d \) Voriablen
\( \begin{array}{l} y^{\prime}=\frac{1}{x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} \mid \cos y \\ y^{\prime} \cdot \cos y=\frac{1}{x} \cdot \sin y \mid \sin y \\ y^{\prime} \cdot \frac{\cos y}{\sin y}=\frac{1}{x}=\frac{d y}{d x} \frac{\cos y}{\sin y}=\frac{1}{x} \mid \cdot d x / s \\ \int \frac{\cos y}{\sin y} d y=\int \frac{1}{x} d x=\ln |x| \end{array} \)
substitution \( u=\sin y \Rightarrow \frac{d u}{d y}=\cos y \quad d y=\frac{d u}{\cos y} \)
Einsetzen
\( \begin{aligned} & \int \frac{\cos y}{u} \frac{d u}{\cos y} \\ \Rightarrow \ln |\sin y| & =\int \frac{1}{u} d u=\ln |x|+c \mid e \\ \sin y & =x \cdot e^{c}|\ln | \sin y \mid \\ y & =\arcsin \left(x \cdot e^{c}\right) \end{aligned} \)

Answer 1

Ich sehe da jetzt keinen Fehler. Du kannst aber bei solchen Aufgaben immer die Probe machen und deine Lösung in die DGL einsetzen.

Ich würde hier das \(\mathrm{e}^c\) aber einfach zu einer Konstanten \(C\) zusammenfassen. Du hast dann also \(y(x)=\arcsin(Cx)\) als Lösung.

Answer 2

Hallo,

das ist alles richtig.

Du kannst das Ergebnis selbst über Wolfram Alpha überprüfen:

https://www.wolframalpha.com

\( y(x)=\sin ^{-1}\left(c_{1} x\right) \)

Beim Integrieren von Integral \( \frac{cos(y)}{sin(y)} \) gehen Lösungen beim Dividieren verloren.

sin(y)=0

--->y=0 ist auch eine Lösung

Answer 3

Dein erster Fehler liegt schon einmal darin, dass Du überhaupt keine Dgl. angegeben hast, sondern nur einen Term. (Und in Zeile 4 steht ein falsches "=" in der Mitte.)

In \( \displaystyle \int {\cos y\over \sin y} dy \) steht im Zähler die Ableitung des Nenners. Damit wird logarithmisch integriert, und wie das geht, hast Du zu wissen und zu können, auch ohne Deine nutzlose und überflüssige Substitution.

Die Lösung der Dgl. heißt \( \displaystyle \sin(y) = Cx \) und nicht \( \displaystyle y = \arcsin(Cx) \). Durch diese Umformung zerstörst Du Dir ziemlich genau unendlich viele weitere Lösungen der Dgl.

\( \displaystyle \sin y = 0 \iff y = 0 \) ist keine weitere Lösung, die wird nämlich bereits in der allgemeinen Lösung mit erfasst.

(Und wolframalpha ist einfach nur Dreck, die sind zu bescheuert zum Rechnen.)