Integralrechnung mit Brüchen (Dgl 1. Ordnung)

Question

(x² -6)y' - 2\( \sqrt{6} \) = 0

\( \frac{dy}{dx} \) = \( \frac{2√6 y}{x+√6} \)

∫ \( \frac{dy}{y} \) = ∫ \( \frac{2√6}{x+√6} \) dx

Und nun habe ich etwas Schwierigkeiten das Integral auf der rechten Seite dx zu bilden
Laut https://mathdf.com/dif/de/ müsste da rauskommen

ln|y| = ln \( \frac{x-√6}{x+√6} \) + C

Kann das aber irgendwie nicht nachvollziehen, wahrscheinlich übersehe ich etwas

Ps.: mit dem Lösung der restlichen Gleichung habe ich keine Probleme (mit e multiplizieren um ln wegzubekommen)

Danke schonmal

Comments

Lautet die Aufgabe wirklich so ?

Answer 1

Aloha :)

Das Integral auf der rechten Seite ist ein Standardintegral:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$mit \(f(x)=x+\sqrt6\) und \(f'(x)=1\). Daher gilt:$$\int\frac{2\sqrt6}{x+\sqrt6}\,dx=2\sqrt6\int\frac{1}{x+\sqrt6}\,dx=2\sqrt6\ln|x+\sqrt6|+\text{const}$$

Du hast allerdings vorher falsch umgeformt:$$(x^2-6)y'-2\sqrt6=0\implies y'=\frac{2\sqrt6}{x^2-6}=\frac{1}{x-\sqrt6}-\frac{1}{x+\sqrt6}$$und dieses Integral liefert dann das gewünschte Musterlösungs-Ergebnis.

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Dankeschön!!