Vollständige Induktion bei Ungleichung n+1

Question

Text erkannt:

Aufgabe H 4. Vollständige Induktion mit Ungleichungen
Zeigen Sie die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion:
(a) \( \frac{n !}{4}>\frac{2^{n}}{(n+2)(n+1)} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geqq 2 \).
(b) \( a^{n}-2^{n} \geqq \sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} 2^{k} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) und \( a \in \mathbb{R} \) mit \( a \geqq 3 \).

Aufgabe:

Induktion mit Ungleichung…

Hallo, leider komme ich beim Induktionsschritt nicht weiter. Ich erkenne, dass man die linke Seite einfach umschreiben kann bei a, aber leider habe ich Schwierigkeiten mit dem Umformen.
LG S.W.

Comments

B) wurde kürzlich hier gelöst, musst Du mal durchblättern

Answer 1

zu b) siehe

https://www.mathelounge.de/1039782/ungleichung-mit-summen-induktionsbeweis

zu a) Ind.schritt:

\(  \frac{(n+1)!}{4} = \frac{n!}{4} \cdot (n+1) > \frac{2^{n}}{(n+2)(n+1)} \cdot (n+1) =  \frac{2^{n}}{n+2}  \)

Wegen n≥2 gilt \(  \frac{2}{n+3} \lt 1 \)  also gilt

\( \frac{2^{n}}{n+2} \gt \frac{2^{n}}{n+2} \cdot   \frac{2}{n+3} =  \frac{2^{n+1}}{(n+2)(n+3)} \)   wie gewünscht.