Bestimmen Sie eine Gleichung für die Gerade, die durch den Pfeil festgelegt ist.

Question

Aufgabe:

Eine kreisförmige Zielscheibe ist gegen den Boden geneigt aufgestellt.
Der Mittelpunkt der Zielscheibe befindet sich 2m über dem Boden. Ein Pfeil hat die Zielscheibe rechtwinklig in ihrem Mittelpunkt getroffen.
Das Pfeilende P ist 5dm von der Zielscheibe und 23dm vom Boden entfernt.
Legen Sie ein geeignetes Koordinatensystem fest.
a) Bestimmen Sie eine Gleichung für die Gerade, die durch den Pfeil festgelegt ist.
b) Bestimmen Sie eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene, die durch die Oberfläche der Zielscheibe festgelegt ist.

Problem/Ansatz:

ich habe Schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen.

Ich kann mir nicht herleiten, wie man das Koordinatensystem festlegen und warum die Information wie z.B. "Zielscheibe ist gegen den Boden geneigt" relevant sind, oder ob diese mich nur verwirren sollen.

Meine Idee wäre jetzt gewesen den Mittelpunkt der Zielscheibe als M(0|0|2) festzulegen und den Punkt p als (0|-0,5|2,3) festzulegen und dann den Richtungsvektor von pM berechnen und dann M oder p als Stützvektor nehmen und dann die Geraden aufstellen, aber das soll falsch sein.
In Lösungen wurde auch der Satz des Pythagoras verwendet und ich kann mir einfach nicht erklären warum.
Ich wäre sehr sehr sehr dankbar für eine verständliche Erklärung!!

Comments

Der Autor der Aufgabe hat doch durch  Legen Sie ein geeignetes Koordinatensystem fest dem Bearbeiter so viel Freiheit gegeben, dass der ein solches (u,v,w) für geeignet halten darf, in dem die Lösung zu a) einfach \( \vec x= \lambda· \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\) (d.h. die w-Achse zeigt in Richtung des Pfeils) und die zu b) einfach \(\vec x·\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=0\) , w=0 (d.h. die Zielscheibe liegt in der u-v-Ebene) lautet.
Dazu wähle irgend drei Basisvektoren, die bezüglich der Standardbais die Koordinaten \( \begin{pmatrix} a\\0\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 0\\b\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} a\\b\\0,3 \end{pmatrix} \) mit a^2+b^2 = 0,16 (Pythagoras) haben. (alle Maße in m)

Answer 1

und den Punkt p als (0|-0,5|2,3) festzulegen

Da muss es wohl eher (0|y|2,3) heißen und das y so

bestimmen, dass die Pfeillänge 0,5 ist.

Also \( ||\begin{pmatrix} 0\\y\\0,3 \end{pmatrix}||=0,5 \)

Das gäbe dann \(  \sqrt{y^2+0,09}=0,5  \)

                              y² = 0,16

und du wolltest ja ein negatives y, also y=-0,4

Answer 2

Ich finde die Wahl des Koordinatensystems vom Fragesteller schon sehr vernünftig.

M(0 | 0 | 2) als Mittelpunkt der Zielscheibe und evtl.
P(0 | 0.4 | 2.3) als Ende des Pfeils, damit man positive Koordinaten hat.

a) Bestimmen Sie eine Gleichung für die Gerade, die durch den Pfeil festgelegt ist.

$$\text{g: } \overrightarrow x = \begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0\\0.4\\0.3 \end{pmatrix}$$

b) Bestimmen Sie eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene, die durch die Oberfläche der Zielscheibe festgelegt ist.

$$\text{E: } \left( \overrightarrow x - \begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\0.4\\0.3 \end{pmatrix} = 0$$

$$\text{E: } 0.4 \cdot y + 0.3 \cdot z = 0.6$$

Comments

Hier noch eine Skizze zur Veranschaulichung:

Der Richtungsvektor hat die Länge 0.5 m, geht aber 0.4 m in Richtung der y-Achse und 0.3 m in Richtung der z-Achse. In dem eingezeichneten rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

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Zusatzfrage:

Wie weit ist der Pfeil geflogen (horizontale Distanz), wenn er aus einer Höhe von 1.5 m abgeschossen wurde und die Flugbahn idealisiert die Form einer Parabel hat :)